POJ 1330 Nearest Common Ancestors(tarjan LCA 算法)

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#算法 #vector #query #null #ini

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本文详细介绍了Tarjan LCA算法及其应用实例，通过并查集+深度优先搜索实现两个节点最近公共祖先的查找，同时提供了两种不同实现方式的源代码。

POJ 1330 Nearest Common Ancestors(tarjan LCA 算法)

关于LCA和RMQ问题

一、最近公共祖先(Least Common Ancestors)

对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v)表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v)即u到v的最短路上深度最小的点。

这里给出一个LCA的例子：

例一

对于T=<V,E>
V={1,2,3,4,5}
E={(1,2),(1,3),(3,4),(3,5)}

则有：

LCA(T,5,2)=1
LCA(T,3,4)=3
LCA(T,4,5)=3

二、RMQ问题(Range Minimum Query)

RMQ问题是指：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在[i,j]里的最小值下标。这时一个RMQ问题的例子：

例二

对数列：5,8,1,3,6,4,9,5,7 有：

RMQ(2,4)=3
RMQ(6,9)=6

RMQ问题与LCA问题的关系紧密，可以相互转换，相应的求解算法也有异曲同工之妙。

下面给出LCA问题向RMQ问题的转化方法。

对树进行深度优先遍历，每当“进入”或回溯到某个结点时，将这个结点的深度存入数组E最后一位。同时记录结点i在数组中第一次出现的位置(事实上就是进入结点i时记录的位置)，记做R[i]。如果结点E[i]的深度记做D[i]，易见，这时求LCA(T,u,v)，就等价于求E[RMQ(D,R[u],R[v])]，(R[u]<R[v])。例如，对于第一节的例一，求解步骤如下：

数列E[i]为：1,2,1,3,4,3,5,3,1
R[i]为：1,2,4,5,7
D[i]为：0,1,0,1,2,1,2,1,0

于是有：

LCA(T,5,2) = E[RMQ(D,R[2],R[5])] = E[RMQ(D,2,7)] = E[3] = 1
LCA(T,3,4) = E[RMQ(D,R[3],R[4])] = E[RMQ(D,4,5)] = E[4] = 3
LCA(T,4,5) = E[RMQ(D,R[4],R[5])] = E[RMQ(D,5,7)] = E[6] = 3

易知，转化后得到的数列长度为树的结点数的两倍加一，所以转化后的RMQ问题与LCA问题的规模同次

数据很水，但是算法绝对经典，题目要求两个节点的最近公共祖先，这个tarjan算法使用了并查集+dfs的操作。这个算法研究了我两个小时，开始的时候在网上查找资料，写的都不尽人意，看不明白，后来干脆直接看代码，模拟了一遍，搞懂了。。。看来计算机的世界，只有代码才是王道！中间的那个并查集操作的作用，只是将已经查找过的节点捆成一个集合然后再指向一个公共的祖先。另外，如果要查询LCA(a,b)，必须把(a,b)和(b,a)都加入邻接表。

#include < iostream >

#include < algorithm >

#include < cstdio >

#include < vector >

using namespace std;

#define MAX 10001

int f[MAX];

int r[MAX];

int indegree[MAX];

int visit[MAX];

vector < int > hash[MAX],Qes[MAX];

int ancestor[MAX];

void init( int n)

{

int i;

for(i=1;i<=n;i++)

{

r[i]=1;

f[i]=i;

indegree[i]=0;

visit[i]=0;

ancestor[i]=0;

hash[i].clear();

Qes[i].clear();

}

int find( int n)

{

if(f[n]==n)

return n;

else

f[n]=find(f[n]);

return f[n];

} // 查找函数，并压缩路径

int Union( int x, int y)

{

int a=find(x);

int b=find(y);

if(a==b)

return 0;

else if(r[a]<=r[b])

{

f[a]=b;

r[b]+=r[a];

}

else

{

f[b]=a;

r[a]+=r[b];

}

return 1;

} // 合并函数，如果属于同一分支则返回0，成功合并返回1

void LCA( int u)

{

ancestor[u]=u;

int i,size = hash[u].size();

for(i=0;i<size;i++)

{

LCA(hash[u][i]);

Union(u,hash[u][i]);

ancestor[find(u)]=u;

}

visit[u]=1;

size = Qes[u].size();

for(i=0;i<size;i++)

{

if(visit[Qes[u][i]]==1)

{

printf("%d/n",ancestor[find(Qes[u][i])]);

return;

}

int main()

{

int testcase;

int n;

int i,j;

scanf("%d",&testcase);

for(i=1;i<=testcase;i++)

{

scanf("%d",&n);

init(n);

int s,t;

for(j=1;j<=n-1;j++)

{

scanf("%d%d",&s,&t);

hash[s].push_back(t);

indegree[t]++;

}

scanf("%d%d",&s,&t);

Qes[s].push_back(t);

Qes[t].push_back(s);

for(j=1;j<=n;j++)

{

if(indegree[j]==0)

{

LCA(j);

break;

}

return 0;

}

不过可能是用了vector的关系，耗时47MS,也许改成单纯的链表要更好些；
还有就是，如果这个树的根节点不确定，边没有方向可言的话，又应该如何做呢？（找不到根了。。。）
如果要找两个节点之间的一条通路又该怎么办？
看来，这个问题还有继续研究下去的必要。。。

———————————————————————传说中的分割线——————————————————————————
指针版：

#include < iostream >

#include < algorithm >

#include < cstdio >

#include < vector >

using namespace std;

#define MAX 10001

struct node

{

int a;

node *next;

} hash[MAX];

node Qes[MAX];

void Add(node hash[], int a, int b)

{

node *p=&hash[a];

node *q=p->next;

node *r=new node;

r->a=b;

p->next=r;

r->next=q;

}

int f[MAX];

int r[MAX];

int indegree[MAX];

int visit[MAX];

int ancestor[MAX];

void init( int n)

{

int i;

for(i=1;i<=n;i++)

{

r[i]=1;

f[i]=i;

indegree[i]=0;

visit[i]=0;

ancestor[i]=0;

hash[i].next=NULL;

Qes[i].next=NULL;

}

int find( int n)

{

if(f[n]==n)

return n;

else

f[n]=find(f[n]);

return f[n];

} // 查找函数，并压缩路径

int Union( int x, int y)

{

int a=find(x);

int b=find(y);

if(a==b)

return 0;

else if(r[a]<=r[b])

{

f[a]=b;

r[b]+=r[a];

}

else

{

f[b]=a;

r[a]+=r[b];

}

return 1;

} // 合并函数，如果属于同一分支则返回0，成功合并返回1

void LCA( int u)

{

ancestor[u]=u;

node *p;

for(p=hash[u].next;p!=NULL;p=p->next)

{

LCA(p->a);

Union(u,p->a);

ancestor[find(u)]=u;

}

visit[u]=1;

for(p=Qes[u].next;p!=NULL;p=p->next)

{

if(visit[p->a]==1)

{

printf("%d/n",ancestor[find(p->a)]);

return;

}

int main()

{

int testcase;

int n;

int i,j;

scanf("%d",&testcase);

for(i=1;i<=testcase;i++)

{

scanf("%d",&n);

init(n);

int s,t;

for(j=1;j<=n-1;j++)

{

scanf("%d%d",&s,&t);

Add(hash,s,t);

indegree[t]++;

}

scanf("%d%d",&s,&t);

Add(Qes,s,t);

Add(Qes,t,s);

for(j=1;j<=n;j++)

{

if(indegree[j]==0)

{

LCA(j);

break;

}

return 0;

}

汗，写了个指针版运行速度居然比vector还慢，太打击我对指针的信心了。。。可能是数据太弱了吧，指针的优势没有发挥出来。。。

——————————————————传说中的分割线——————————————————————————————————
终于用RMQ过了，起初一直RE,原来是RM Q里面的数组开小了。。。不过感觉时间效率不是很高，110MS，应该是询问的次数太少的原因吧。
RMQ应付的应该是询问次数非常巨大的情况。而且它是在线的算法，可以按顺序输出结果，这样才能AC题目啊。

#include < iostream >

#include < math.h >

#include < vector >

using namespace std;

vector < int > hash[ 10001 ]; // 用vector代替邻接表

#define MAXN 10001

#define mmin(seq, a, b) ((seq[a] < seq[b]) ? (a) : (b))

int indegree[MAXN];

/**/ //// DP status

int fij[ 100000 ][ 100 ];

template < typename T >

void st(T seq[], int n) // 预处理