1199: Just the Facts

这是标准的数学题。求N!的非零末位。
这也是标准的BT题，光是N就可以到100位。完全没有直接做的办法。还是看LeeMars的报告吧!
首先考虑某一个N!(N < 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们先把0..9的阶乘的尾数列出来（注意，5的倍数的位置上是1），可以得到table[0..9] = (1, 1, 2, 6, 4, 4, 4, 8, 4, 6)。对于N < 5，直接输出table[N]即可；对于N > = 5，由于提出了一个5，因此需要一个2与之配成10，即将尾数除以2。注意到除了0 !和1!，阶乘的最后一个非零数字必为偶数（显然，因为在N!的质因数里2的个数要多），所以有一个很特别的除法规律：2 / 2 = 6，4 / 2 = 2，6 / 2 = 8，8 / 2 = 4。比较特殊的就是2 / 2 = 12 / 2 = 6， 6 / 2 = 16 / 2 = 8。这样我们就可以得到如下式子：
代码:
           table[N] F(N) = ------------ (0 <= N < 10)            2^([N/5])
再考虑复杂的。考虑某一个N!(N >= 10)，我们先将所有5的倍数提出来，用1代替原来5的倍数的位置。由于5的倍数全被提走了，所以这样就不会出现尾数0了。我们观察一下剩下的数的乘积的尾数，通过table表，我们发现这10个数的乘积的尾数是6，6 * 6的尾数还是6，因此我们将剩下的数每10个分成一组，则剩下的数的乘积的尾数只与最后一组的情况有关，即与N的最后一位数字有关。由于我们把5的倍数提出来了，N!中一次可以提出[N/5]个5的倍数，有多少个5，就需要有多少个2与之配成10，所以有多少个5，最后就要除以多少个2。注意到除2的结果变化是4个一循环，因此如果有A个5，只需要除(A MOD 4)次2就可以了。A MOD 4只与A的最后两位数有关，很好求算。剩下的5的倍数，由于5已经全部处理掉了，就变成[N/5]!。于是，我们可以得到一个递归关系：
代码:
              F([N/5]) * table[N的尾数] * 6 F(N) = ---------------------------------------- (N > 10)                      2^([N/5] MOD 4)
这样我们就得到了一个O(log5(N))的算法，整除5可以用高精度加法做，乘2再除10即
可。整个算法相当巧妙，写起来也比较轻松。
想了好半天，看了好半天，写了好半天.......

 

#include<stdio.h>
int main()
{   
 int i;   
 int n;   
 while(scanf("%d",&n)==1)  
 {       
  printf("%5d -> ",n);       
  if(n==0||n==1)
  {
   printf("1/n");
   continue;
  }       
  int temp=1;       
  for(i=2;i<=n;i++)       
  {           
   int b=i;           
   while(b%10==0)
   b/=10;           
   while(b%5==0)           
   {               
    b/=5;               
    temp/=2;           
   }           
   temp*=b;           
   temp%=100000;      
  }       
  printf("%d/n",temp%10);  
 }   
 return 0;
}