调和级数是发散的

已于 2022-07-16 15:27:52 修改
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分类专栏： 漫游数学世界 文章标签： 调和级数 奥雷姆 门戈利 约翰·伯努利 雅各布·伯努利
于 2022-07-16 10:00:32 首次发布
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/howard2005/article/details/125815920
本文探讨了调和级数的定义、性质及其发散性。中世纪数学家奥雷姆首次证明了调和级数是发散的，这一结论后来由门戈利和伯努利兄弟通过不同方法再次证明。文章还介绍了如何编程计算调和级数之和，并展示了几个收敛的级数。调和级数的研究属于数学的分析领域，关注于极限和无穷大的概念。

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证明调和级数的发散性
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调和级数是发散的
证明调和级数发散
三角形的心
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调和级数发散的证明。
求证调和级数发散
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自娱自乐一下， 看看调和级数为什么会发散：
关于调和级数发散性的证明
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<br />关于调和级数发散性的证明<br />采用计算机科学中数位的思维，并可以采用程序进行大概验证。<br />1+1/2+1/3+....<br />GO<br />1+1/2+{ 1/3+1/4}+{1/5+1/6+1/7+1/8}+........<br />Go<br />1+1/2+1/2+1/2+.....<br />当然其中选取1/2作为基值，也可以选择1/3，1/4等等。
证明：1/n调和级数为何是发散的
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伟大的定理：调和级数的发散性
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 伯努利兄弟与调和级数(1689年) http://www.huaiwei.net/post/2.html
既发散又收敛的无穷级数 (2004年)
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在这个证明过程中，作者首先假设调和级数是收敛的，然后通过分析部分和数列的行为，发现在某些条件下调和级数的部分和数列的差趋于零，这与调和级数发散的性质相矛盾。因此，可以推断出调和级数实际上是发散的。 ...
C++做调和级数求和
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C++做调和级数求和
用matlab代码验证调和级数(发散级数）和一个大整数自然对数之差是收敛的，即验算极限为有限值。
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证明调和级数发散的方法
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第六届蓝桥杯校内选拔赛C/C++高职组解题（2）
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1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 在数学上称为调和级数。 它是发散的，也就是说，只要加上足够多的项，就可以得到任意大的数字。 但是，它发散的很慢： 前1项和达到 1.0 前4项和才超过 2.0 前83项的和才超过 5.0 那么，请你计算一下，要加多少项，才能使得和达到或超过 15.0 呢？ 请填写这个整数。 注意
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解决此问题，即计算5*4*3*2*1的问题。需要用到循环结构中当型（while型）循环结构。 while型循环结构知识补充： p1成立执行A框，循环此过程直到执行p1不成立，循环结束。 演示如下： #include&lt;stdio.h&gt; int main() { int i,t;//定义整型变量i,t t=1;//赋值t i=2;//赋值i whil...
证明调和级数发散性的一种酷方法
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证明调和级数发散性的一种酷方法 A=1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10... Go A=1+{1/2+1/3+1/4}+{1/5+1/6+1/7}+{1/8+1/9+1/10}... GO A=1+3/3+3/6+3/9+... Go A=1+1+1/2+1/3+1/4+... Go A=1+A 相当与一个不动点，只有当A为无穷大的时候
调和级数的和 matlab,调和级数发散到无穷大的速度有多慢？
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this.p={ m:2,b:2,loftPermalink:'',id:'fks_095065085085089069087086083095086083080064085095087069',blogTitle:'调和级数发散到无穷大的速度有多慢？',blogAbstract:'以下级数称为调和级数： 教材上证明了调和级数是发散级数，也就是说，调和级数的各项加起来将是无穷大。但是教材上没有...
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黎曼ζ函数，由贝尔纳·黎曼提出，是复变函数论中的重要函数。ζ函数在该区域内有解析表达式，对复数域的解析延拓揭示其更深层次的性质。引发了著名的黎曼猜想，与数论和素数分布密切相关。$ζ$函数是数学研究的关键对象，具有广泛的应用和深刻的数学内涵。
调和级数是什么
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<think>嗯，用户问的是调和级数，我需要先回忆一下调和级数的定义和基本性质。调和级数应该是指那个1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + …的级数吧。首先，我得确认这个级数的正确表达式，然后解释它的发散性。 调和级数的定义是各项的倒数相加，对吧？所以应该写成H_n = 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n。用户可能需要知道它的发散性，也就是虽然项越来越小，但和会趋向无穷大。这时候得说明为什么它会发散，可能需要提到积分判别法或者比较判别法。 比如，用积分法的话，比较1/x的积分从1到无穷大，积分是发散的，所以调和级数也发散。另外，可能还需要提到一些经典的证明方法，比如分组比较，像1/3 + 1/4 > 1/2，1/5到1/8的和大于1/2，依此类推，这样每组的和都超过1/2，所以整个级数发散。 还有调和级数的增长速度，大概是ln(n)加上欧拉-马歇罗尼常数γ。可能需要提到这个近似公式H_n ≈ ln(n) + γ + 1/(2n) - …。不过用户可能不需要太详细的展开，但至少说明它和自然对数的关系。 应用方面，调和级数在数学和物理中有什么应用呢？比如在分析算法复杂度时可能会出现，或者在某些物理问题中的级数展开。不过这部分可能需要简单带过，避免深入。 另外，可能需要区分调和级数和其他级数，比如p级数，调和级数是p=1的情况，而p>1时收敛。这点也很重要，可以说明调和级数在收敛性上的临界位置。 用户可能还会想知道调和级数的一些有趣性质或者历史背景，比如它为什么叫“调和”，可能和音乐中的谐波有关，但这点我不太确定，需要查证一下。比如，调和级数的项对应谐波序列，所以得名。 总结一下，回答的结构应该是先定义，再发散性的证明方法，然后近似公式，应用和相关的p级数比较。要确保用中文解释清楚，避免使用复杂术语，同时保持准确性。</think>调和级数是一个重要的数学概念，下面通过分步说明帮助你理解： --- ### 1. **定义** 调和级数是形如以下形式的无穷级数： $$ H_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{n} $$ 当$n \to \infty$时，它表示无穷项的和。 --- ### 2. **核心性质：发散性** 虽然调和级数的每一项$\frac{1}{n}$随着$n$增大趋近于$0$，但**整个级数的和是发散的**（即趋向无穷大）。 **经典证明方法**： - **分组比较法**： 将级数分组为： $$ \left(1\right), \left(\frac{1}{2}\right), \left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}\right), \ldots $$ 每组的和均超过$\frac{1}{2}$，因此总和无界。 - **积分判别法**： 比较$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x} dx = \ln x \bigg|_{1}^{\infty} = \infty$，说明级数发散。 --- ### 3. **近似公式** 调和级数的部分和$H_n$近似等于自然对数： $$ H_n \approx \ln n + \gamma $$ 其中$\gamma \approx 0.5772$是**欧拉-马歇罗尼常数**，代表与对数函数的偏差。 --- ### 4. **应用与扩展** - **算法分析**：在计算机科学中，调和级数用于分析某些算法的时间复杂度（如哈希表冲突）。 - **p级数对比**：调和级数是$p=1$的特例，而$p>1$时级数$\sum \frac{1}{n^p}$收敛。 - **物理与工程**：在振动分析、电路理论中可能出现类似形式。 --- ### 5. **名称由来** “调和”一词源于音乐中的**谐波**（harmonics）。在声学中，弦振动产生的频率是基频的整数倍，与调和级数的项类似。 --- **总结**：调和级数是一个看似项趋零但和发散的经典例子，揭示了无穷级数中“趋零”与“收敛”的本质区别。
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