排序算法之----堆排序

排序算法之----堆排序参考来源

一、预备知识

堆排序

堆排序是利用堆这种数据结构而设计的一种排序算法，堆排序是一种选择排序，它的最坏，最好，平均时间复杂度均为O(nlgn)，它也是不稳定排序。与归并排序一样，但不同于插入排序的是，堆排序的时间复杂度是O(nlgn)。而与插入排序相同，但不同于归并排序的是，堆排序同样具有空间原址性：任何时候都只需要常数个额外的元素空间存储临时数据。首先简单了解下堆结构。

堆

堆是具有以下性质的完全二叉树：每个结点的值都大于或等于其左右孩子结点的值，称为大顶堆；或者每个结点的值都小于或等于其左右孩子结点的值，称为小顶堆。如下图：

同时，我们对堆中的结点按层进行编号，将这种逻辑结构映射到数组中就是下面这个样子：

该数组从逻辑上讲就是一个堆结构，我们用简单的公式来描述一下堆的定义就是：

大顶堆：arr[i] >= arr[2i+1] && arr[i] >= arr[2i+2]

小顶堆：arr[i] <= arr[2i+1] && arr[i] <= rr[2i+2]

二、堆排序基本思想及步骤

堆排序的基本思想是：将待排序序列构造成一个大顶堆，此时，整个序列的最大值就是堆顶的根节点。将其与末尾元素进行交换，此时末尾就为最大值。然后将剩余n-1个元素重新构造成一个堆，这样会得到n个元素的次小值。如此反复执行，便能得到一个有序序列了。

步骤一 构造初始堆。将给定无序序列构造成一个大顶堆（一般升序采用大顶堆，降序采用小顶堆)。

假设给定无序序列结构如下：

我们从第一个非叶子结点开始（叶结点自然不用调整，第一个非叶子结点 arr.length/2-1=5/2-1=1，也就是下面的6结点），从左至右，从下至上进行调整。

找到第二个非叶节点4，由于[4,9,8]中9元素最大，4和9交换。

这时，交换导致了子根[4,5,6]结构混乱，继续调整，[4,5,6]中6最大，交换4和6。

此时，我们就将一个无需序列构造成了一个大顶堆。

步骤二 将堆顶元素与末尾元素进行交换，使末尾元素最大。然后继续调整堆，再将堆顶元素与末尾元素交换，得到第二大元素。如此反复进行交换、重建、交换。

a.将堆顶元素9和末尾元素4进行交换

b.重新调整结构，使其继续满足堆定义

c.再将堆顶元素8与末尾元素5进行交换，得到第二大元素8.

后续过程，继续进行调整，交换，如此反复进行，最终使得整个序列有序

再简单总结下堆排序的基本思路：

a.将无需序列构建成一个堆，根据升序降序需求选择大顶堆或小顶堆;

b.将堆顶元素与末尾元素交换，将最大元素"沉"到数组末端;

c.重新调整结构，使其满足堆定义，然后继续交换堆顶元素与当前末尾元素，反复执行调整+交换步骤，直到整个序列有序。

三、代码实现

def big_endian(arr, start, end):
    root = start
    while True:
        # 从root开始对最大堆进行调整
        child = root * 2 + 1
        if child > end:
            break
        # 找出两个child中较大的一个
        if child + 1 <= end and arr[child] < arr[child + 1]:
            child += 1
        if arr[root] < arr[child]:
            # 最大堆小于较大的child,交换顺序
            arr[root], arr[child] = arr[child], arr[root]
            # 正在调整的节点设置为root
            root = child
        else:
            # 无需调整的时候，退出
            break


def heap_sort(arr):
    # 从最后一个非叶子节点开始调整最大堆
    first = len(arr) // 2 - 1
    for start in range(first, -1, -1):
        big_endian(arr, start, len(arr) - 1)
    # 将最大的放到堆的最后一个,堆-1,继续调整排序
    for end in range(len(arr) - 1, 0, -1):
        arr[0], arr[end] = arr[end], arr[0]
        big_endian(arr, 0, end - 1)