数据结构-AVL树

最新推荐文章于 2025-04-09 16:35:40 发布

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本文介绍了AVL树的定义、结构及旋转操作，包括单旋转与双旋转的具体实现，并展示了AVL树的插入操作流程。此外，还探讨了伸展树的基本概念与伸展操作。

AVL树：带有平衡条件的二叉查找树，要求每个节点的左子树和右子树的高度最多差1。

通常，AVL树通过旋转操作保持平衡条件。

不平衡的可能情况：

节点a的左儿子左子树进行插入
节点a的右儿子右子树进行插入
节点a的左儿子右子树进行插入
节点a的右儿子左子树进行插入

其中情况1、2都是通过单旋转就可以解决了，而情况3、4需要通过双旋转来解决。

AVL树的声明：

struct avlNode;
typedef struct avlNode* position;
typedef struct avlNode* avlTree;


struct avlNode
{
	int element;
	avlTree left;
	avlTree right;
	int height;
};

int max(int i, int j);
position singleRotateWithLeft(position k2);
position singleRotateWithRight(position k2);
position doubleRotateWithLeft(position k3);
position doubleRotateWithRight(position k3);
avlTree Insert(int x, avlTree t);
void printTree(avlTree t);

单旋转的实现：

position singleRotateWithLeft(position k2){
	position k1;
	k1 = k2->left;
	k2->left = k1->right;
	k1->right = k2;
	if ((k2->left == NULL) && (k2->right == NULL))
		k2->height = 0;
	else if (k2->left == NULL)
		k2->height = k2->right->height + 1;
	else if (k2->right == NULL)
		k2->height = k2->left->height + 1;
	else
		k2->height = max(k2->left->height, k2->right->height) + 1;
	k1->height = max(k1->right->height, k2->height) + 1;
	return k1;
}//对应情况1


position singleRotateWithRight(position k2){
	position k1;
	k1=k2->right;
	k2->right = k1->left;
	k1->left = k2;
	if ((k2->left == NULL) && (k2->right == NULL))
		k2->height = 0;
	else if (k2->left == NULL)
		k2->height = k2->right->height + 1;
	else if (k2->right == NULL)
		k2->height = k2->left->height + 1;
	else 
		k2->height = max(k2->left->height, k2->right->height) + 1;
	k1->height = max(k1->right->height, k2->height) + 1;
	return k1;
}//对应情况2

其中，我对单旋转的理解就是沿着树倾斜的角度小的方向向下掰就可以了。

双旋转的实现：

position doubleRotateWithLeft(position k3){
	k3->left = singleRotateWithRight(k3->right);
	return singleRotateWithLeft(k3);
}//对应情况3


position doubleRotateWithRight(position k3){
	k3->right = singleRotateWithLeft(k3->right);
	return singleRotateWithRight(k3);
}//对应情况4

双旋转就是进行两次旋转

AVL的插入操作的实现：

avlTree Insert(int x, avlTree t){
	if (t==NULL)
	{
		t = (struct avlNode *)malloc(sizeof(struct avlNode));
		if (t == NULL)
			cout << "Out of space!!!" << endl;
		else
		{
			t->element = x;
			t->height = 0;
			t->left = t->right = NULL;
		}
	}
	else if (x<t->element)
	{
		t->left = Insert(x, t->left);
		if (t->right==NULL)
		{
			if (t->left->height == 1)
			{
				if (x < t->left->element)
					t = singleRotateWithLeft(t);
				else
					t = doubleRotateWithLeft(t);
			}
		}
		else if (t->left->height - t->right->height == 2)
		{
			if (x < t->left->element)
			t = singleRotateWithLeft(t);
			else
			t = doubleRotateWithLeft(t);
		}
	}
	else if (x>t->element)
	{
		t->right = Insert(x, t->right);
		if (t->left == NULL)
		{
			if (t->right->height == 1)
			{
				if (x < t->right->element)
					t = singleRotateWithLeft(t);
				else
					t = doubleRotateWithLeft(t);
			}
		}
		else if (t->right->height-t->left->height==2)
		{
			if (x > t->right->element)
				t = singleRotateWithRight(t);
			else
				t = doubleRotateWithRight(t);
		}
	}
	return t;
}

打印树的实现：

void printTree(avlTree t){
	if (t==NULL)
	{
		cout << " ";
	}
	else
	{
		printTree(t->left);
		cout << t->element;
		printTree(t->right);
	}
}

max函数的实现：

int max(int i, int j){
	if (i > j)
		return i;
	else
		return j;
}

伸展树（splay tree）：伸展树保证从空树开始任意连续M次对树的操作最多花费O(M㏒N)时间。

基本想法为：当一个树被访问后，它就要经过一系列AVL树的旋转被放到根上。如果一个节点很深，那么其路径上就存在许多的节点也相对较深，通过重新构造可以使所有这些节点的进一步访问所花费的时间变少。

伸展（splaying）：

若x的父节点是树根，那么我们只需要旋转x和树根；
若x有父亲节点和祖父节点，则分为“之”字形和“一”字形两种情况。