找新朋友（欧拉函数）

最新推荐文章于 2024-03-22 00:21:26 发布

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本文解决了一个关于计算会员中与会长具有大于1公约数的会员数量的问题，通过使用欧拉函数和筛法优化算法来高效求解。具体包括输入会员总数，输出与会长有大于1公约数的会员数量，利用数学性质快速计算欧拉函数，以及采用筛选法处理数据，最终通过哈希表存储约数关系。

http://acm.hdu.edu.cn/game/entry/problem/show.php?chapterid=2§ionid=1&problemid=8

Problem Description

新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

Input

第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

Output

对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

Sample Input

2
25608
24027

Sample Output

7680
16016

Author

SmallBeer(CML)

Source

杭电ACM集训队训练赛（VII）

第一思路就是找出比N小的所有与N 最大公约数为1（互质）的数，想法没错，结果Time Limit Exceeded

#include <iostream>

using namespace std;

int gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    else{

        gcd(b, a % b);
    }
}

int main()
{
    int caseNumber;
    cin >> caseNumber;
    while(caseNumber--){
        int i,n;
        int result = 0;
        cin >> n;
        for(i = 1; i < n;i++ ){
            if(gcd(i,n)==1){
                result++;
            }
        }
        cout << result << endl;
    }
    return 0;

显然该题涉及欧拉函数

欧拉函数定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>

using namespace std;

int Eular(int x){
    int ans=1;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            x/=i;
            ans*=(i-1);
            while(x%i==0){
                x/=i;
                ans*=i;
            }
        }
    }
    if(x>1)
        ans*=(x-1);
    return ans;
}

int main(){

    //freopen("input.txt","r",stdin);

    int t,n;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        printf("%d\n",Eular(n));
    }
    return 0;
}

本题用筛选法处理数据，用到哈希表。凡是能被n整除的数的所有倍数都是和n有公约数。

#include<stdio.h>
#include<math.h>
#include<string.h>
int main()
{
    int a[32768];
    int i,j,t,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d",&n);
        memset(a,0,sizeof(a));
        m=n/2;
        for(i=2;i<=m;i++)      //筛选法求约数关系
            if(n%i==0)
                for(j=i;j<n;j+=i)
                    a[j]=1;
        int sum=0;
        for(i=1;i<n;i++)
            if(!a[i])
                sum++;
        printf("%d\n",sum);
    }
    return 0;
}