nbut [1413] Weight 母函数 n个砝码能称出的重量的个数

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本文介绍了一种解决特定砝码组合问题的方法，通过使用母函数的思想来找出所有可能的重量组合及其数量。针对输入的砝码集合，算法能够高效地计算出所有可能的重量组合，并给出每种组合的数量。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

[1413] Weight
时间限制: 1000 ms　内存限制: 65535 K
问题描述
有n个砝码，每个砝码都有各自的重量。
那么这些砝码一共能称出哪些重量。
输入
输入一个正整数 n (1 <= n <= 100)表示一共有 n 个砝码。
接下来一行有n个正整数，每个正整数表示该砝码的重量，其重量不会超过100。
输出
从小到大输出所有可能的情况。
对于每行，包含两个数，前面一个数是能称出的重量，后面一个数是能称出该重量的不同情况的数量(就算重量相等的砝码也被视为不同的砝码)。
其数量要对100000007求余。
样例输入
```
4
1 2 3 4
```
样例输出

提示
```
无
```
来源
```
Hungar
```

思路：很明显是母函数

#include<stdio.h>
#include<string.h>
int num[111],val[111];
int c1[10000+100],c2[10000+100];
#define mod 100000007;
int main()
{
	int n,i,j,k,sum;
	while(scanf("%d",&n)!=EOF)
	{
		sum=0;
		memset(num,0,sizeof(num));
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
			scanf("%d",&val[i]);
			num[val[i]]=1;
			sum+=val[i];
		}
			memset(c1,0,sizeof(c1));
			memset(c2,0,sizeof(c2));
			for(j=0;j<=val[1]*num[val[1]];j+=val[1])//限制了每种的个数 最多为 num[val[i]]*val[i]     由于本题都是1 可以去掉不写  
				/*如 质量为1 的砝码有4个  则母函数第一个式子为为 1+x^1+x^2+x^3+x^4*/
				c1[j]=1;
			for(i=2;i<=n;i++)
			{
				for(j=0;j<=sum;j++)//指向上一次已经计算过的式子的项
					for(k=0;k+j<=sum&&k<=num[val[i]]*val[i];k+=val[i])//限制了每种的个数就要这样写了
					{//k指向当前要成的式子的项
						c2[k+j]+=c1[j]%mod;
						c2[k+j]%=mod;
					}
					for(k=0;k<=sum;k++)
					{
						c1[k]=c2[k]%mod;
						c2[k]=0;
					}
			}
			for(i=1;i<=sum;i++)
				if(c1[i])  
				printf("%d %d\n",i,c1[i]);
	}
	return 0;
	
}

下面的是官方的解题报告：

A.Weight

由题可知，砝码数量不超过100，每个砝码的重量不超过100，那么总重不会超过10000.
我们可以申请一个数组a，a[i]表示组成重量i的数量。
那么对于每个砝码，我们都对a数组遍历一遍，
当a[i]是真值时，那么a[i+当前砝码的重量]+=a[i](不要忘了求余)，
所以要从尾部开始遍历，不能从头部开始遍历。

但是我们可以剪枝一下，每次都是从10000开始遍历到0有点漫长。
所以我们可以定义一个数all = 0;
all存的是当前砝码以及该砝码之前的所有砝码的总和重量，所以每次只要从all开始遍历到0即可。

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
 
#define mod 100000007
#define N 110
#define M 10005
 
int a[M];
 
int main()
{
    int n;
     
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        int all = 0;
        memset(a, 0, sizeof(a));
        a[0] = 1;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            int x;
            scanf("%d", &x);
            all += x;
            for (int j = all; j >= 0; j--)
            {
                if (a[j]) a[j + x] = (a[j + x] + a[j]) % mod;
            }
        }
        for (int i = 1; i <= all; i++)
        {
            if (a[i]) printf("%d %d\n", i, a[i]);
        }
    }
     
    return 0;
}