单调栈原理及应用 详解 附各种类型的题目练习

转载：原文链接： https://blog.youkuaiyun.com/zuzhiang/article/details/78134247

 

定义：

单调栈，顾名思义，是栈内元素保持一定单调性（单调递增或单调递减）的栈。这里的单调递增或递减是指的从栈顶到栈底单调递增或递减。既然是栈，就满足后进先出的特点。与之相对应的是单调队列。

 

 

实现：

例如实现一个单调递增的栈，比如现在有一组数10，3，7，4，12。从左到右依次入栈，则如果栈为空或入栈元素值小于栈顶元素值，则入栈；否则，如果入栈则会破坏栈的单调性，则需要把比入栈元素小的元素全部出栈。单调递减的栈反之。

 

10入栈时，栈为空，直接入栈，栈内元素为10。

3入栈时，栈顶元素10比3大，则入栈，栈内元素为10，3。

7入栈时，栈顶元素3比7小，则栈顶元素出栈，此时栈顶元素为10，比7大，则7入栈，栈内元素为10，7。

4入栈时，栈顶元素7比4大，则入栈，栈内元素为10，7，4。

12入栈时，栈顶元素4比12小，4出栈，此时栈顶元素为7，仍比12小，栈顶元素7继续出栈，此时栈顶元素为10，仍比12小，10出栈，此时栈为空，12入栈，栈内元素为12。

 

至于代码的实现我觉得还是必须对应着题目去体会，也没有太死板的模板，下面只给出伪代码吧。

 

   

    

   
   

    

     /*
    
   

   

    

   
   

    

     * 本伪代码对应的是单调递减栈 
    
   

   

    

   
   

    

     *共n个元素，编号为0~n-1
    
   

   

    

   
   

    

     */
    
   

   

    

   
   

    

     while(栈为空) 栈顶元素出栈; 
     //先清空栈
    
   

   

    

   
   

    

     a[n]=-
     1;
    
   

   

    

   
   

    

     for(i=
     0;i<=n;i++)
    
   

   

    

   
   

    

     {
    
   

   

    

   
   

    
	
     if(栈为空或入栈元素大于等于栈顶元素) 入栈;
    
   

   

    

   
   

    
	
     else 
    
   

   

    

   
   

    

     	{
    
   

   

    

   
   

    
		
     while(栈非空并且栈顶元素大于等于入栈元素)
    
   

   

    

   
   

    

     		{
    
   

   

    

   
   

    

     			栈顶元素出栈;
    
   

   

    

   
   

    

     			更新结果; 
    
   

   

    

   
   

    

     		} 
    
   

   

    

   
   

    

     		将最后一次出栈的栈顶元素（即当前元素可以拓展到的位置）入栈; 
    
   

   

    

   
   

    

     		更新最后一次出栈的栈顶元素其对应的值; 
    
   

   

    

   
   

    

     	} 	 
    
   

   

    

   
   

    

     }
    
   

   

    

   
   

    

     输出结果; 
    
   
 

 

PS:将破坏栈单调性的元素都出栈后，最后一次出栈的元素就是当前入栈元素能拓展到的最左位置，更新其对应的值，并将其位置入栈。

 

 

应用：

以上就是一个单调栈的定义及其实现，下面就来说一下它可以解决哪些问题。其实我也不能给出证明，以证明它为什么能完成这些功能，只是简单的把它的用途说一下，碰到问题时就需要大家灵活运用了。

 

1.最基础的应用就是给定一组数，针对每个数，寻找它和它右边第一个比它大的数之间有多少个数。

2.给定一序列，寻找某一子序列，使得子序列中的最小值乘以子序列的长度最大。

3.给定一序列，寻找某一子序列，使得子序列中的最小值乘以子序列所有元素和最大。

 

 

对应题目：下面先只给出对应的题目和大体思路，至于题解稍后完成后再一一补充。当然这只是现阶段我自己碰到过的，可能不全，还请大家多多补充指正。

 

应用1对应题目：

1.POJ 3250

题意：有一群牛站成一排，每头牛都是面朝右的，每头牛可以看到他右边身高比他小的牛。给出每头牛的身高，要求每头牛能看到的牛的总数。

思路：这也就是应用1所说的求每个数和它右边第一个比它大的数之间的数的个数，分别求出后相加即可。朴素的做法是双重循环遍历，时间复杂度为O(n^2)，用单调栈为O(n)。

题解：POJ 3250题解。

 

 

应用2对应题目：

1.POJ 2559

题意：有N个矩形，宽度都为1，给出N个矩形的高度，求由这N个矩形组成的图形包含的最大的矩形面积。

思路：可以转化为求区间最小值乘以区间长度的最大值。普通的思路是两重循环遍历，时间复杂度为O(n^2)，用单调栈为O(n)。

题解：POJ 2559 题解。

2.POJ 3494

题意：求仅由0，1组成的矩阵中，全部由1组成的小矩阵的最大面积。

思路：这个是上一题POJ 2559的升级版，把一维的操作变成二维的即可。这之前需要一个预处理。

题解：POJ 3494题解。

 

 

应用3对应题目：

1.POJ 2796

题意：给出一个序列，求出一个子序列，使得这个序列中的最小值乘以这个序列的和的值最大。

思路：直接用单调栈解决即可，由于维护单调栈的过程中会改变原数组的值，所以需要加一个sum数组保存前缀和，也方便计算区间元素和。

题解：POJ 2796题解。