uva 10673 - Play with Floor and Ceil（欧几里得）-优快云博客

本文介绍了一种求解形如 ax+by=c 的整数解的方法，并通过一个具体的编程实例来展示该方法的应用。对于给定的 x 和 k，目标是找到 p 和 q，使得 p 是 x/k 的下整数，q 是 x/k 的上整数，并满足 p*m+q*n=x。文章还提供了一个 C++ 实现示例。

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题意：给出x和k ，求出一对p q 使得

解析：转化一下就变成了ax+by=c 的一组解

首先是要证明一个方程必定有整数解

ax+by=gcd(a,b); 为方便 g=gcd(a,b), ax+by=g

这个证明有些复杂就不写了，而如何构造一个可行解（x1，y1）其实也在证明过程中

在得到一个可行解后就可以得到无数组解，他们是（x1-k*(b/g) , y1+k*(a/g)），（其中g=gcd（a，b），k是整数）

而对于方程ax+by=c，只要c是g倍数那么就有整数解，否则没有

看完原题，p是x/k的下整，q是x/k的上整，然后p*m+q*n=x，这个方程其实就是ax+by=c的形式，而且这个方程一定有整数解

因为d=gcd(p,q)，若p=q，d=p，若p！=q即|p-q|=1，则d=1

所以无论如何x一定是d的倍数，这个方程一定有整数解

然后先用floor和ceil处理出p，q，然后直接套模板去求解就可以了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<string.h>
#include<math.h>
#include<stdlib.h>
using namespace std;

int x,y,d;
void exgcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        d=a;
    }
    else
    {
        exgcd(b,a%b);
        int t=x;
        x=y;
        y=t-a/b*x;
    }
}
int main()
{
    int t,s,k,a,b;
    double xx,kk;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&s,&k);
        xx=s;
        kk=k;
        a=floor(xx/kk);
        b=ceil(xx/kk);
        exgcd(a,b);
        x=s/d*x;
        y=s/d*y;
        printf("%d %d\n",x,y);
    }
    return 0;
}