讲道理 | 椭圆旋转方程

原文转自 https://blog.youkuaiyun.com/PengPengBlog/article/details/53213716

原椭圆方程是：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，a b为长轴短轴

如果写成 原椭圆方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=0.5^2，则a b分别为长轴短轴的1/2。

1. 旋转变换

有2个右手螺旋平面直角坐标系，UOV和XOY. 
2坐标系共原点O。 
U0V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之间的夹角为θ。 
则， 
若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UOV坐标系下的坐标为(U,V)。 

则: （UOV逆时针旋转到XOY）
X = U*COS(θ) - V*SIN(θ) 
Y = U*SIN(θ) + V*COS(θ) 

U = X*COS(θ) + Y*SIN(θ) 
V = X*SIN(θ) - Y*COS(θ) 

这样， 
一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UOV中满足的方程就变成了 
[U*COS(θ) - V*SIN(θ)]^2/A^2 +[U*SIN(θ) + V*COS(θ)]/B^2 = 1 

2. 平移变换

有2个右手螺旋平面直角坐标系，UO'V和XOY. 
2坐标系的U,X坐标轴相互平行，V,Y坐标轴也相互平行。 
UO'Y的原点O'在XOY中的坐标为（S,T）。 

则， 
若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UO'V坐标系下的坐标为(U,V)。 

（UOV平移到XOY）
X = U + S 
Y = V + T 

U = X - S 
V = Y - T 

这样， 
一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中满足的方程就变成了 
[U+S]^2/A^2 + [V+T]^2/B^2 = 1. 

3. 把平移和旋转结合起来

有2个右手螺旋平面直角坐标系，UO'V和XOY. 
UO'Y的原点O'在XOY中的坐标为（S,T）。 
U0'V的U轴的正向和X0Y的X轴正向之间的夹角为θ。 

则， 
若平面上一点P在XOY坐标系下的坐标为(X,Y),在UO'V坐标系下的坐标为(U,V)。 

X = U*COS(θ) - V*SIN(θ) + S 
Y = U*SIN(θ) + V*COS(θ) + T 

U = (X-S)*COS(θ) + (Y-T)*SIN(θ) 
V = (X-S)*SIN(θ) - (Y-T)*COS(θ) 

这样， 
一个在XOY中的标准的椭圆 X^2/A^2 + Y^2/B^2 = 1 在UO'V中满足的方程就变成了 
[U*COS(θ) - V*SIN(θ) + S]^2/A^2 + [U*SIN(θ) + V*COS(θ) + T]/B^2 = 1

反之：

一个在UO‘V中的标准的椭圆 U^2/A^2 + V^2/B^2 = 1 在XOY中满足的方程就变成了(O'在XOY中坐标（S,T,）): 
[(X-S)*COS(θ) + (Y-T)*SIN(θ)]^2/A^2 + [(X-S)*SIN(θ) - (Y-T)*COS(θ)]/B^2 = 1