一. 概率论的基本概念
- 掷一枚硬币5次，出现正面向上次数多于反面向上次数的概率为（）
| A. 15 16 \frac { 1 5 } { 1 6 } 1615 | B. 11 32 \frac { 1 1 } { 3 2 } 3211 | C. 1 2 \frac { 1 } { 2 } 21 | D. 3 8 \frac { 3 } { 8 } 83 |
- 一批零件共有100个，其中共有10个不合格品。从中一个一个取出，求第3次才取得不合格品的概率是多少？
- 保险公司认为某险种的投保人可以分成两类：一类为容易出事故者，另一类为安全者统计表明：一个易出事故者在一年内发生事故的概率为0.4，而安全者这个概率则减少为0.1．若假定第一类人占此险种投保人的20％．现有一个新的投保人来投保此险种，问该投保人在购买保单一年内出事故的概率有多大？
- 袋中有20只红球和30只白球，现有两人随机从袋中各取一球，取后不放回。则第二个人取得红球的概率是多少？
- 有两个盒子，第一个盒子中装有2个红球，1个白球，第二个盒子中装一半红球，一半白球。现从两盒中各取一球放在一起，再从中取一球，问。
（1）这个球是红球的概率；
（2）若发现这个球是红球，问第一盒取出的球是红球的概率。 - 假设有两箱同种零件，第一箱内装n件一等品。第二箱内装m件，其中仅有一件一等品，（m，n均大于2）。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中随机取出两个零件（取出的零件不放回），求
（1）先取出的零件是一等品的概率p
（2）在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的条件概率q． - 为从2个次品、8个正品的10个产品中将2个次品挑出，随机地逐个进行测试，则不超过4次测试就能把2个次品挑出的概率是多少？
- 共有10个座位的小会议室内随机坐6名与会者，则指定的4个座位被坐满的概率是多少？
二. 随机变量及其分布
1．设
X
1
,
X
2
,
X
3
X _ { 1 } , X _ { 2 } , X _ { 3 }
X1,X2,X3是随机变量，且
X
1
∼
N
(
0
,
1
)
X
2
∼
N
(
0
,
2
2
)
,
X
3
∼
N
(
5
,
3
2
)
,
p
i
=
P
{
−
2
≤
X
i
≤
2
}
(
i
=
1
,
2
,
3
)
X _ { 1 } \sim N ( 0 , 1 )X _ { 2 } \sim N ( 0 , 2 ^ { 2 } ) ,X _ { 3 } \sim N ( 5 , 3 ^ { 2 } ),p _ { i } = P \{ - 2 \leq X _ { i } \leq 2 \}( i = 1 , 2 , 3 )
X1∼N(0,1)X2∼N(0,22),X3∼N(5,32),pi=P{−2≤Xi≤2}(i=1,2,3)，则（）
A.
p
1
>
p
2
>
p
3
p _ { 1 } > p _ { 2 } > p _ { 3 }
p1>p2>p3
B.
p
2
>
p
1
>
p
3
p _ { 2 } > p _ { 1 } > p _ { 3 }
p2>p1>p3
C.
p
3
>
p
1
>
p
2
p _ { 3 } > p _ { 1 } > p _ { 2 }
p3>p1>p2
D.
p
1
>
p
3
>
p
2
p _ { 1 } > p _ { 3 } > p _ { 2 }
p1>p3>p2
-
设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布，已知该时段内没有汽车通过的概率为，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为 1 e \frac { 1 } { e } e1，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率为____。
-
设随机变量\xi在（1,6）上服从均匀分布，则方程 x 2 + ξ x + 1 = 0 x ^ { 2 } + \xi x + 1 = 0 x2+ξx+1=0 有实根的概率是____。
-
设随机变量 X ∼ U ( 2 , 5 ) X \sim U ( 2 , 5 ) X∼U(2,5)，现对X进行3次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。
-
设随机变量 X ∼ U ( 0 , 1 ) X \sim U ( 0 , 1 ) X∼U(0,1)，则Y = X + 1服从分布_____。
三. 大数定律与中心极限定理
- 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100h的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命的总和大于1920h的概念。
- 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立且服从相同分布，其数学期望为0 . 5 k g，均方差为0.1kg，问5000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？
- 一复杂的系统由100个相互独立起作用的部件构成，在整个运行期间每个部件损坏的概率是0.10．为了使整个系统起作用，至少必须有85个部件正常工作，求整个系统起作用的概率。
四. 参数估计
1．设总体 X ∼ U ( 0 , θ ) , X 1 , X 2 , ⋯ , X n X \sim U ( 0 , \theta ),X _ { 1 } , X _ { 2 } , \cdots , X _ { n } X∼U(0,θ),X1,X2,⋯,Xn是来自总体X的样本，则参数0的短估计量 θ ^ \hat { \theta } θ^=,
2．设一批零件的长度服从正态分布
N
(
μ
,
σ
2
)
N ( \mu , \sigma ^ { 2 } )
N(μ,σ2)，其中
μ
,
σ
2
\mu , \sigma ^ { 2 }
μ,σ2均未知，现从中随机抽取16个零件，测得样本均值x＝20（cm），样本标准差S = 1 ( c m )，则μ的置信度为0.90的置信区间是（）
A.
(
20
−
1
4
t
0.05
(
16
)
,
20
+
1
4
t
0.05
(
16
)
)
( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 6 ) , 2 0 + \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 6 ) )
(20−41t0.05(16),20+41t0.05(16))
B.
(
20
−
1
4
t
0.1
(
16
)
,
20
+
1
4
t
0.1
(
16
)
)
( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 6 ) , 2 0 + \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 6 ) )
(20−41t0.1(16),20+41t0.1(16))
C.
(
20
−
1
4
t
0.05
(
15
)
,
20
+
1
4
t
0.05
(
15
)
)
( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 5 ) , 2 0 + \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 0 5 } ( 1 5 ) )
(20−41t0.05(15),20+41t0.05(15))
D.
(
20
−
1
4
t
0.1
(
15
)
,
20
+
1
4
t
0.1
(
15
)
)
( 2 0 - \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 5 ) , 2 0 + \frac { 1 } { 4 } t _ { 0 . 1 } ( 1 5 ) )
(20−41t0.1(15),20+41t0.1(15))
3．设
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
x _ { 1 } , x _ { 2 } , \cdots , x _ { n }
x1,x2,⋯,xn为来自总体
N
(
μ
,
σ
2
)
N ( \mu , \sigma ^ { 2 } )
N(μ,σ2)的简单随机样本，样本均值
x
‾
=
9.5
\overline { x } = 9 . 5
x=9.5，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为
4．设总体X的概率分布为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| p | θ 2 \theta ^ { 2 } θ2 | 2 θ ( 1 − θ ) 2 \theta ( 1 - \theta ) 2θ(1−θ) | θ 2 \theta ^ { 2 } θ2 | 1-2θ |
其中θ(0<θ<1/2)是未知参数，利用总体X的如下样本值3,1,3,0,3,1,2,3求θ的矩估计值和最大似然估计值。
5．在一批货物容量为100的样本中，经检验发现有16只次品，试求这些货物次品率为95％的置信区间。
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