有限域的矩阵表示

有限域的矩阵表示

原文：Matrix Representation of Finite Fields
作者：W.P. Wardlaw
时间：1992.3.12
译者：宋海龙

摘要

自从伽罗华在1832年发明了有限域并在1846年发表了他的研究工作以来，有限域（也被称为伽罗华域）被广泛研究。在最近几十年，有限域已经在信息论、编码理论及密码学中变得非常重要。

这篇报告利用矩阵的幂（整数模有限域的特征）的形式给出了一种表示有限域的简洁方法。有限域上的加法和乘法就是普通的矩阵加法和乘法。这种表示法可以称为规范循环表示——这使得理解域的结构和执行域上的计算变得容易。

内容目录

介绍
有限域的表示
矩阵表示
规范循环表示
一般情况
割圆多项式
改进的例子
推论
参考文献

有限域的矩阵表示

介绍

有限域在编码理论、信息论和密码学中都有很多应用。因此，怎样用易理解和有效的方法来表示有限域就变得非常重要。

许多大学的抽象代数教科书中给出的是怎样来表示素域$F_p$上的有限域$F_q$——通过明确指定它作为向量空间或$F_p$上的多项式商环的加法结构，然而使得乘法结构难以确定。或者，他们明确说明了乘法群的循环结构却没有清晰地跟加法结构联接起来。在本文中，我们提出了一种矩阵表示法，它可以很自然很简洁地显示域$F_q$（其中$q=p^d$）在其素域$F_p$上的乘法和加法结构。尽管这种表示法曾经有人提出过（见[3, p. 65],例子），但它还没有在抽象代数的教科书中被广泛应用。

有限域的表示

为说明这些想法，让我们先考虑素域$F_2$上的8个元素的域$F_8$。$F_8$的加法结构是$F_2$上的三维向量空间V={ (0 0 0),(1 0 0),(0 1 0),(0 0 1),(1 1 0),(1 0 1),(0 1 1),(1 1 1)}V=\{(0\ 0\ 0),(1\ 0\ 0),(0\ 1\ 0),(0\ 0\ 1),(1\ 1\ 0),(1\ 0\ 1),(0\ 1\ 1),(1\ 1\ 1)\}V={ (0 0 0),(1 0 0),(0 1 0),(0 0 1),(1 1 0),(1 0 1),(0 1 1),(1 1 1)}。然而，还不清楚的是，怎样定义这些向量的乘积来获得$F_8$的乘法结构！这可以通过扩展乘法表来给出，见表（1）。

(1)

.	(1 0 0)	(0 1 0)	(0 0 1)
(1 0 0)	(1 0 0)	(0 1 0)	(0 0 1)
(0 1 0)	(0 1 0)	(0 0 1)	(1 1 0)
(0 0 1)	(0 0 1)	(1 1 0)	(0 1 1)

其中基是：B={ (1 0 0),(0 1 0),(0 0 1)}B=\{(1\ 0\ 0),(0\ 1\ 0),(0\ 0\ 1)\}B={ (1 0 0),(0 1 0),(0 0 1)}，通过双线性映射给出了$F_8$的乘法结构，尽管直接的证明将是冗长枯燥的。

一种更常见的，也是更有用的处理方法（见[1, p. 171]或[3, p. 25, Thm. 1.6.1）是$F_2$上的所有多项式模三次不可约多项式$x^3+x+1$所构成的商环表示法。
(2)
$$F_8\cong F_2[x]/(x^3+x+1)$$
如果我们令$a\in F_8$表示$x$模$x^3+x+1$的剩余类，从而易知$a^3+a+1=0$。因此，易知（记得域的特征是2!）$a^3=a+1$，$a^4=a^2+a$，$a^5=a^2+a+1$，$a^6=a^2+1$以及$a^7=1$，所以
(3)
F8={ 0,1,a,a2,a3,a4,a5,a6}={ 0,1,a,a2,a+1,a2+a,a2+a+1,a2+1} F_8=\{0, 1, a, a^2, a^3, a^4, a^5, a^6\}=\{0, 1, a, a^2, a+1, a^2+a, a^2+a+1, a^2+1\} F8​={ 0,1,a,a2,a3,a4,a5,a6}={ 0,1,a,a2,a+1,a2+a,a2+a+1,a2+1}

这样，$F_8$的乘法群$F_8^{\ast }=⟨a⟩$是由$a$生成的简单的7阶循环群。(3)中的第二个公式使得加法结构容易看出来，尽管它使得乘法结构有点模糊。可以通过下面简化了的乘法表并结合$F_8$中元素的乘法分配律来给出。

(4)

.	$1$	$a$	$a^2$
$1$	$1$	$a$	$a^2$
$a$	$a$	$a^2$	$a+1$
$a^2$	$a^2$	$a+1$	$a^2+a$

(对比表(1)表(4)可以相当容易地证明表(1)给出的乘法满足域公理。)此外，我们可以利用关系$a^3+a+1=0$去乘以(3)中第二个公式中所给出的元素。这是一个有限域标准的表示法，而且看上去很合理很令人满意。然而，从加法到乘法的变换仍然有一些事情值得期待。

矩阵表示

如果我们选取域$F_8$中的任意一个元素$b$，$L_b$是一个$F_2$上的向量空间$V=F_8$中的线性变换，它表示左乘$b$。如果我们选取$F_2$