2016ACM/ICPC亚洲区大连站 1006 Detachment 1004 A Simple Math Problem（求逆元）（数论）

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求逆元

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gcd

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本文解析了两道数学编程题目，一是求将整数N拆分为若干个正整数之和时乘积的最大值；二是利用数论定理解答一对未知数的求解问题。文章提供了详细的算法思路与C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

这次差不多有6道是我现在可以做的，还有一道博弈论加大数的以后再补吧，还是要多积累啊。

现在先补充两个题目的吧

1006 Detachment

这道题题意很简单，求把N分成任意个和为N的数字，求这些数字乘积最大是多少。

首先要知道肯定是把N分成 2，3，4，5，6，7.......这种相邻的数字乘积最大，只要求 a + a+1 + a+2 ~ a+d和为N的乘积。

主要用到两个数组，一个存2到N的和，另外一个存2到N的乘积，乘的时候mod一下就好了。

还有一个知识是当 a/b ，a被mod过后，除出来来的结果是错的，mod只有在乘法的情况下才可以，那么就求一下b 的逆元，再把a*（b的逆元）即可。

这里先贴出两种求逆元的办法：

1、a与mod互素：

ll exgcd(ll a, ll b, ll &x, ll &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ll r = exgcd(b, a % b, x, y);
    ll t = x % mod;
    x = y % mod;
    y = ((t - a / b * y) % mod + mod) % mod;
    return r;
}

求2对于1e9+7的逆元就是 exgcd(2, 1e9+7, x, y),其中x的值就是inv2，

2、mod为素数：

ll power_mod(ll a, ll b, ll mod)
{
    ll ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
inv2 = power_mod(a, mod - 2, mod);

这里mod为素数，直接b^(mod-2)即可，求的时候用快速幂。

知道这些就可以做了，要注意N为1的时候要单独考虑一下。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define LL long long
const LL mod = 1e9+7;
LL sum[100005],mul[100005];  //sum 2到N的和，mul  2到N的积

LL f(LL x) {  //求x的逆元
	LL ans = 1;
	int t = mod-2;
	while(t) {
		if(t & 1 ) ans = ans*x%mod;
		x = x*x%mod;
		t >>= 1;
	}
	return ans;
}

int main() {
	int t;
	scanf("%d",&t);
	LL dd = 0,d = 1;
	for(int i = 2;i < 100005;i++) {  
		dd += i;
		sum[i] = dd;
		d = d*i%mod;
		mul[i] = d;
	}
	while(t--) {
		LL x;
		scanf("%I64d",&x);
		if(x == 1) {
			printf("1\n");
			continue;
		}
		int n = lower_bound(sum,sum+100000,x) - sum;
		if(sum[n] != x) n--;
		LL va = x - sum[n];
		if(va > n-1) {
			LL inv2 = f(2);
			printf("%I64d\n",(mul[n]*(n+2) % mod) * inv2 % mod);
		}
		else {
			int s = n - va+1;
			LL inv2 = f(s);
			//printf("%d %d %I64d\n",s,n,mul[n+1]);
			printf("%I64d\n",(mul[n+1] % mod) * inv2 % mod);
		}
		//printf("%I64d\n",sum[n]);
	}
}

1004 A Simple Math Problem

这道题要知道一个基本的数论的定理：gcd(x,y) = gcd(x+y , lcm(x,y))。

这样就可以知道 a*b = y/gcd(x,y) , a+b = x;

两个方程两个未知数，求解二元一次方程即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define LL long long

int main() {
	int n,m;
	while(scanf("%d%d",&n,&m) != EOF) {
		int dd = __gcd(n,m),flag = 0;
		LL x = dd*m;
		if(n*n - 4*x >= 0) {  //即二元一次方程有解
			LL ss = sqrt(n*n - 4*x);
			LL a = (n+ss)/2;
			LL b = n-a;
			if(a/(__gcd(a,b))*b == m) 
				printf("%I64d %I64d\n",b,a); //输出要注意大小的顺序，不然会wa
			else 
				printf("No Solution\n");
		}
		else 
			printf("No Solution\n");
	}
}