OpenGL超级宝典笔记（零）数学基础与基础变换

这部分与（一）的不同是这部分只注意使用价值，不搞矩阵怎么运算那些虚的，而且结合OpenGL来讲。

声明：摘抄，翻译，感悟自http://www.songho.ca/opengl/gl_transform.html#modelview

主要流程

基础数学知识

1. 别理太多，反正转换矩阵总是在坐标或者向量的前面，公式一直都是
   $$Coor{d}_{dst}=M_{transform}\ast Coor{d}_{ori}$$
   如果要连续做两个变换，那么慢做转换那个矩阵反而要在前面。

摄像机以及物体变换

第一个要素是物体本身的世界坐标。
在第一个步骤会被转化到以摄像头为原点的坐标系中。由于在OpenGL中，摄像头的位置是固定在(0,0,0)，并且朝向被固定在-z方向的，所以如果想要像在游戏引擎里面那种移动摄像头的操作的话，只能反过来转换物体的坐标。

移动和变换的叠加可以通过变换矩阵相乘来实现

$$\therefore M_{mv}=M_v\ast M_m$$
$M_v$在前面意味着先做世界坐标上物体的变换，再做相机的变换，这个很合理。如果反过来相机先变换，那么物体的变换就不是在世界坐标上了，会有奇妙的效果。

所以
$$Coor{d}_{eye}=M_{mv}\ast Coor{d}_{world}$$

法向量的变换就不一样了，不知道为啥但是就是这样：
$$n_{eye}=(M_{mv}^{-1}{)}^T\ast n_{world}$$
取mv矩阵的逆矩阵的转置，乘以原法向量。所以vertex shader里面老是要的那个$M_{normal}$(normalMatrix)其实就是这个又逆又转置的mv矩阵。

投影

$$Coor{d}_{clip}=M_{projection}\ast Coor{d}_{eye}$$

标准化

NDC，其实就是除以$w$。
$$Coor{d}_{ndc}=Coor{d}_{projected}/w$$

屏幕剪裁

这里不管，OpenGL的插件做的。

矩阵

mv矩阵

其中，$m_{15}$是齐次因子。
$(m_0,m_1,m_2)$, $(m_4,m_5,m_6)$, $(m_8,m_9,m_{10})$分别代表xyz轴的变换。默认是(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)。旋转和缩放一般影响到这九个位。而位移是由$(m_{12},m_{13},m_{14})$控制的。如果不知道怎么得到最终的变换矩阵，那就旋转，缩放，位移一个一个乘起来。

投影

视锥体($frustum$)投影(perspective)是常识了，相对应的ortho就是平行变换，一般用于2d的UI界面上。二者分别对应glPerpective()和glOrtho2D()。这部分变换把对应的东西投影到相机，并且做剪裁（far和near面）。

创建一个视锥体一般需要六个参数：left, right, bottom, top, near, far（上面图里的字母皆是这几个参数的头个字母）。
其中，near是近面和相机的距离，far是远面和相机的距离。
glPerpective()方法则只需要四个参数：一个Y方向FOV(field of view)，也就是纵向的角度；一个aspect，长宽比；一个near；一个far。很容易猜到为啥少了两个参数，因为默认视锥体的高线穿过相机，整个视锥体是对称的。

平行投影。

为了视角剪裁，当然也需要near和far了（以前老以为不用），比far还远，比near且近者，当被屏蔽。