Rodrigues旋转公式

 

物体在三维下的旋转可以用旋转角度来表示，一般情况下可分为两种，

1 围绕x, y, z主坐标轴各自旋转yaw, pitch, roll角度而得。

2 围绕空间中某一向量旋转一个角度而得，这个一般不是唯一的，我们称这种为旋转向量，向量的模表示绕该向量逆时针旋转的角度。

那么正常来说，这两种表示可以互相转换，转换方式依据的Rodrigues旋转公式。

PS: opencv-py  cv2.Rodrigues()所提供的功能既是该转换功能。

Rodrigues旋转公式

即：设v是一个三维空间向量，k是旋转轴的单位向量（旋转向量上的单位向量），则v在右手螺旋定则意义下绕旋转轴k旋转角度θ得到的向量可以由三个不共面的向量v, k和kxv（特殊情况时为x, y, z轴）构成的标架表示：

其实说白了，就是把v分解为两个特殊分向量（垂直于平行），分别沿着k旋转，再把结果相加。

 

推导

（PS：参见百科，仅多了一个辅助理解的俯视图）

                

将v分解为垂直于k（v_T）和平行于k(v_11)的分向量，则有

(在k上的投影)

  

由向量积几何意义可知v, k的向量积w 为与v, , k都垂直，且模与 相等。

W=（该式中 x 不为字母x,表示k 与 v的叉乘积）

则， 

下图（沿向量k的逆向量方向观察）可见

则  

 

Ref

https://en.wikipedia.org/wiki/Rodrigues%27_rotation_formula#Statement

 

https://baike.baidu.com/item/%E7%BD%97%E5%BE%B7%E9%87%8C%E6%A0%BC%E6%97%8B%E8%BD%AC%E5%85%AC%E5%BC%8F/18878562?fr=aladdin

              

罗德里格斯（Rodrigues）旋转方程推导

https://blog.youkuaiyun.com/qq_22235957/article/details/80461290