《Time Series》 Lecture1

一、 Definition

a time series is a set of random variables(observations){X_{t}}

t是连续or离散

二、Examples

energy consumption、telephone calls、 Internet traffic

三、General approach of prediction

$$\Vert x_1-x_2{\Vert }_p=(E|x_1-x2{|}^p{)}^{1/p}$$

举个例子：

分布(X,Y),density p(x,y)
$$p(x,y{)}_{X,Y}=y(x)=\{\begin{array}{r}x+yx\in [0,1],y\in [0,1]\\ 0otherwise\end{array}$$

$$E(Y|X=x)={\int }_{-\inf }^{inf}y\ast p_{Y|X=x}(y)dy$$

$$p_{Y|X=x}(y)=\frac{p(x,y{)}_{X,Y}}{p_X(x)}$$

$$p_X(x)={\int }_{-inf}^{inf}{p}_{X,Y}(x,y)dy={\int }_0^1(x+y)dy=x+1/2$$

so, we can get, when
$$y\in [0,1],p_{Y|X=x}(y)\ne 0,otherwise,p_{Y|X=x}(y)=0$$
then,
$$E(Y|X=x)={\int }_{-\inf }^{inf}y\ast p_{Y|X=x}(y)dy={\int }_0^{1}y\ast \frac{x+y}{x+1/2}dy=\frac{x/2+1/3}{x+1/2}$$
以上其实就是均值的内在含义

但如果不知道具体分布，

or nonlinear prediction
$$a+bx+c{x}^2$$
进一步，

如果X,Y服从高斯分布，

就是以上那个function

因为这个高斯分布可以分解成 独立同分布随机变量的和

复习中心极限定理！！！！