巧克力蛋糕 DP

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#几何学 #c语言 #算法

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本文探讨了一道关于在限定高度内摆放巧克力的编程题，要求最上层和最底层为黑巧克力，黑白巧克力交替放置。通过从DFS转向DP的方法，使用二维数组dp[][]记录每层的摆放方案数，最终求得所有可能的摆放方式总数。

在这里插入图片描述

题目大意，现在有一个L高度的容器，还有三种巧克力：1.高1cm的黑巧克。2.高1cm的白巧克。1.高kcm的黑巧克。然后要使得最上层和最底层都是黑巧克力，并且黑白巧克力必须间隔着放置。可以不放满，但是总高度不能超过L，问：有多少种摆放方式。

刚开始我是用dfs跑的，然后tle了。然后看了一下题解发现是dp（题解说是简单dp，但是我看了很久才懂）。

我们使用一个二维数组dp[max][5]，其中dp[i][1/2/3]表示第i层的1cm的黑巧克力/白巧克力/kcm的黑巧克力的可摆放方案数。模拟着题目要求进行dp即可。因为顶上和底下都必须是黑巧克力，最后只需将所有高度的黑巧克力的方案数全加起来即可。

ll dp[1005][5];
int main()
{
    ll l, k;
    cin >> l >> k;
    ll ans = 0;
    dp[1][1] = 1;
    dp[1][3] = (l >= k) ? 1 : 0;
    for (int i = 2; i <= l; i++)
    {
        if (i - k >= 1)
            dp[i][2] = dp[i - 1][1] + dp[i - k][3];
        else
            dp[i][2] = dp[i - 1][1];
        dp[i][1] = dp[i - 1][2];
        if (i + k - 1 <= l)
            dp[i][3] = dp[i - 1][2];
    }
    for (int i = 1; i <= l; i++)
        ans += dp[i][1] + dp[i][3];
    cout << ans << endl;
}