bzoj 5015: [Snoi2017]礼物

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矩阵

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快速幂

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本文介绍了一种使用矩阵快速幂求解特定形式数列问题的方法。针对给定的数列公式，通过构建特定矩阵并利用快速幂运算加速计算过程，解决了大规模数值下直接递推不可行的问题。

题意：给定n和k，求 $a_n$ ，其中 $a_1=1, a_i=\sum_{j=1}^{i-1}a_j+i^k$
题解：因为 $a_i$ 和前面的总和有关，所以我们用f[i]表示a的前i项的和。显然 $f_i=2f_{i-1}+i^k$ ，答案就是 $f_n-f_{n-1}$ 。由于n很大，直接跑是不现实的，所以我们可以用矩阵乘法加速。矩阵和k有关。k=3时矩阵长这样：

(f i 1 i i 2 i 3) ⎛ ⎝ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ 2133101000011000121001331 ⎞ ⎠ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

$\begin{pmatrix} f_i&1&i&i^2&i^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&0&0&0&0\\ 1&1&1&1&1\\ 3&0&1&2&3\\ 3&0&0&1&3\\ 1&0&0&0&1\\ \end{pmatrix}$
然后直接快速幂就好了。
代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

struct matrix
{
    int a,b;
    long long s[20][20];
    matrix(){memset(s,0,sizeof(s));}
}one,a;
int k;
long long n,mod=1000000007;

matrix operator*(matrix x,matrix y)
{
    matrix ans;
    ans.a=x.a;
    ans.b=y.b;
    for(int i=0;i<x.a;i++)
    for(int j=0;j<y.b;j++)
    for(int k=0;k<x.b;k++)
    ans.s[i][j]=(ans.s[i][j]+x.s[i][k]*y.s[k][j]%mod)%mod;
    return ans;
}
matrix operator*=(matrix &x,matrix y)
{
    x=x*y;
    return x;
}
void print(matrix x)
{
    for(int i=0;i<x.a;i++)
    {
        for(int j=0;j<x.b;j++)
        printf("%lld ",x.s[i][j]);
        puts("");
    }
}
matrix pow(matrix x,long long y)
{
    if(y==0)
    return one;
    matrix ans=pow(x,y>>1);
    ans*=ans;
    if(y&1)
    ans*=x;/*
    printf("pow %lld\n",y);
    print(ans);*/
    return ans;
}
void geta()
{
    a.s[1][1]=1;
    for(int i=2;i<a.b;i++)
    for(int j=1;j<a.a;j++)
    a.s[j][i]=a.s[j][i-1]+a.s[j-1][i-1];
    a.s[0][0]=2;
    for(int i=1;i<a.a;i++)
    a.s[i][0]=a.s[i][a.a-1];
}
int main()
{
    scanf("%lld%d",&n,&k);
    if(n==1)
    {
        puts("1");
        return 0;
    }
    a.a=a.b=one.a=one.b=k+2;
    for(int i=0;i<one.a;i++)
    one.s[i][i]=1;
    geta();
//  print(a);
//  print(a*a);
    matrix hh=pow(a,n-2),f1;
//  print(hh);
    f1.a=1;
    f1.b=k+2;
    for(int i=0;i<f1.b;i++)
    f1.s[0][i]=1;
    matrix oo=f1*hh,pp=oo*a;
    printf("%lld",(pp.s[0][0]-oo.s[0][0]+mod)%mod);
}