hdu2035 人见人爱A^B(快速幂取模)_人见人爱a^b(hdu2035-优快云博客

本文详细介绍了一种高效计算幂运算的方法——快速幂算法。通过将指数转换为2的幂次和的形式，快速幂能够显著减少计算步骤，从O(n)降低到O(logn)。文章不仅提供了直观的解释和示例，还给出了两种实现方式（迭代和递归），并附上了完整的代码示例。

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题目链接：hdu 2035 人见人爱A^B

很早的时候做的一道题了，今天想想把他翻了出来，写篇文章来为不知道快速幂的同学做一个科普（请允许我吹一下牛逼）。快速幂可以高效的计算幂运算。如果我们使用循环来计算的话，那么时间复杂度就是 O(n) ，使用快速幂的话就只用 O(log n)。不要小看这么一点点，如果一个问题需要多次的幂运算的话，可能就会因为这一点小小的变化而超时。

快速幂介绍：

我们一直说快速幂快，那他究竟是在哪里快呢? 如果我们求解 2^k。可以将其表示为

x^n =( (x²)²....)

只要做k次平方运算就可以了，由此我们可以想到，先将n表示为2的幂方次之和

n = 2^k1 + 2^k2 + 2^k3.......

就有

x^n = x^(2^k1) x^(2^k2) x^(2^k3).......

So.快速幂就是这么快。不太明白的可以用笔和纸手动的模拟一下。

例如： x^22 = x^16·x^4·x^2

快速幂的模板：

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print ?

typedef long long ll; //注意这里不一定都是long long 有时 int 也行
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod){
ll res = 1;
while( n > 0 ){
if( n & 1 ) res = res * x % mod; //n&1其实在这里和 n%2表达的是一个意思
x = x * x % mod;
n >>= 1; //n >>= 1这个和 n/=2表达的是一个意思
}
return res;
}

typedef long long ll; //注意这里不一定都是long long 有时 int 也行
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod){
    ll res = 1;
    while( n > 0 ){ 
        if( n & 1 ) res = res * x % mod;    //n&1其实在这里和 n%2表达的是一个意思
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;                 //n >>= 1这个和 n/=2表达的是一个意思
    }
    return res;
}

没看位运算的童鞋，好好回去看看，好多地方都是用这东西

递归版的：

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print ?

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod){
if( n == 0 ) return 1;
ll res = mod_pow( x * x % mod, n / 2, mod );
if( n & 1 ) res = res * x % mod;
return res;
}

typedef long long ll;
ll mod_pow(ll x, ll n, ll mod){
    if( n == 0 ) return 1;
    ll res = mod_pow( x * x % mod, n / 2, mod );
    if( n & 1 ) res = res * x % mod;
    return res;
}

下面附上本题的代码：

[cpp] view plain copy

print ?

#include<stdio.h>
int mod_pow(int x, int n,int mod){ //快速幂
int res = 1;
while( n > 0 ){
if( n & 1 ) res = res * x % mod;
x = x * x % mod;
n >>= 1;
}
return res;
}
int main(){
int m,n;
while(scanf("%d%d",&m,&n),n||m)
printf("%d\n",mod_pow(m,n,1000));
return 0;
}

#include<stdio.h>
int mod_pow(int x, int n,int mod){      //快速幂
    int res = 1;
    while( n > 0 ){
        if( n & 1 ) res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}
int main(){ 
    int m,n;
    while(scanf("%d%d",&m,&n),n||m)
        printf("%d\n",mod_pow(m,n,1000));
    return 0;
}

快速幂延伸：矩阵快速幂

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