求两个正整数的最大公约数和最小公倍数

最近做题遇到一算法题，让求两个正整数的最大公约数和最小公倍数，一想，只要求出两个数的公共质因子就可以求出来了最大公约数了，然后再用两数的积除以最大公约数就可以得到最小公倍数了。

可是当数比较大时，消耗的时间就比较长了，于是就向有没有更简单的算法，冥思苦想，最后还是百度了一下，还是有高人啊，膜拜大神啊（不过还是感觉数学没学好，学好了的话，我也可以，呵呵）

以下为借鉴大神的（还是做了一下整理的，嘿嘿）：

<1> 用辗转相除法求最大公约数 
算法描述: 
    m对n求余为a, 若a不等于0,则 m = n, n = a, 继续求余,否则 n 为最大公约数。
<2> 最小公倍数 = 两个数的积 / 最大公约数 

#include 
int main() 
{ 
	int m, n; 
	int m_cup, n_cup, res; /*被除数, 除数, 余数*/ 
	printf("Enter two integer:\n"); 
	scanf("%d %d", &m, &n); 
	if (m > 0 && n >0) 
	{ 
		m_cup = m; 
		n_cup = n; 
		res = m_cup % n_cup; 
		while (res != 0) 
		{ 
			m_cup = n_cup; 
			n_cup = res; 
			res = m_cup % n_cup; 
		} 
		printf("Greatest common divisor: %d\n", n_cup); 
		printf("Lease common multiple : %d\n", m * n / n_cup); 
	} 
	else 
		printf("Error!\n"); 
	return 0; 
} 

★ 关于辗转相除法, 搜了一下, 在我国古代的《九章算术》中就有记载，现摘录如下: 


约分术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也。以等数约之。” 


其中所说的“等数”，就是最大公约数。求“等数”的办法是“更相减损”法，实际上就是辗转相除法。 


辗转相除法求最大公约数，是一种比较好的方法，比较快。 


对于52317和75569两个数，你能迅速地求出它们的最大公约数吗？一般来说你会找一找公共的质因子，这题可麻烦了，不好找，质因子大。 


现在教你用辗转相除法来求最大公约数。 


先用较大的75569除以52317，得商1，余数23252，再以52317除以23252，得商2，余数是5813，
再用23252做被除数，5813做除数，正好除尽得商数4。这样5813就是75569和52317的最大公约数。你要是用分解使因数的办法，肯定找不到。 


那么，这辗转相除法为什么能得到最大公约数呢？下面我就给大伙谈谈。 


比如说有要求a、b两个整数的最大公约数，a＞b，那么我们先用a除以b，得到商q1，余数r1
即a÷b＝q1余r1我们当然也可以把上面这个式子改写成乘法式：
a＝b*q1＋r1 ① 


如果r1＝0，那么b就是a、b的最大公约数。
要是r1≠0，就继续除，用b除以r1，我们也可以有和上面一样的式子： 
b＝r1*q2＋r2 ② 


如果余数r2＝0，那么r1就是所求的最大公约数。
为什么呢？因为如果②式变成了b＝r1*q2，那么b与r1的公约数就一定是a与b的公约数。
这是因为一个数能同时除尽b和r1，那么由①式，就一定能整除a，从而也是a与b的公约数。 


反过来，如果一个数d，能同时整除a与b，那么由①式，也一定能整除r1，从而也有d是b与r1的公约数。 


这样，a和b的公约数与b和r1的公约数完全一样，那么这两对的最大公约数也一定相同。那b与r1的最大公约数，在r2＝0时，不就是r1吗？所以a和b的最大公约数也是r1了。 


有人会说，那r2不等于0怎么办？那当然是继续往下做，用r1除以r2，……直到余数为零为止。 


在这种方法里，先做除数的，后一步就成了被除数，这就是辗转相除法名字的来历吧。