整数在计算机中的表示

       整数包含正整数，负整数和0。从数学的角度来讲，整数是无穷无尽、列举不完的，整数的大小是没有限制的。但是，如果用计算机来表示整数，则不然。因为计算机是靠数字信号来表示数，计算机所能处理的整数的长度也是由计算机的字长来决定的。这样一来，必须制定一个规则来表示整数。

      下来我们以C语言中的整数表示，展开学习。在c语言中有 char，unsigned char，short int，unsigned short int，long，unsigned long。这些类型不仅有“有符号”和“无符号”之分，而且有长度之分。

1.1.1 无符号整数(unsigned int)的表示

       上面说了，整数在计算机中，都是以二进制比特位表示的。例如，对于一个w位的无符号整数，用二进制比特位可以表示为[x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]，如果我们用B2U_w(x)来表示这个整数，其中B表示是binary，U表示是unsigned，w表示二进制比特的位数。那么可以得到，

无符号整数的最大值 , 。

例如：对于16位无符号整数，能表示的范围是 0 ~ 65535。

1.1.2 有符号数的表示

        目前的计算机系统大都采用补码(two’s complement)来表示有符号数的。例如，对于一个w位的整数，用二进制比特位可以表示为[x_w-1 , x_w-2 , … , x₂ , x₁ , x₀]，那么比特位 x_w-1就是符号位，如果值是0表示正整数，如果值是1则表示负整数。B2T_w(x)来表示整数，则有

从上面的公式可以看出，当x_w-1 = 0时，所能表示的最大整数是；当x_w-1 = 1时， 所能表示的最小整数是。W比特位的有符号数的值的范围是。从这里我们也可以看出，没有相反数，对它求绝对值，将会是0。

1.1.3 有符号数和无符号数的转换

在c语言中，如果我们写出如下的代码：

(1)

short sx = -1;

unsigned short ux = sx;// 此时 ux的值是 65535

比特位：1111111111111111

(2)

unsigned short uy = 65534;

short sy = uy; //此时 sy 的值是-2

比特位：1111111111111110

(3)

unsigned short uz = 28;

short sz = uz; // 此时，sz也等于28

比特位：0000000000011100

在算计机中，相同比特位可以解释为“有符号数”和“无符号数”，也就是可以相互转换的“有符号数”和“无符号数”他们的二进制表示是一样的，唯一不同的就是人们给他们了不同的解释。

用公式表示U2T_w(x)表示有符号数转换为无符号数，

用公式表示T2U_w(x)表示无符号数转换为有符号数，

1.1.4 整数的扩展

先看一个c语言的实例，

(1)

short sa = -13;

sa的比特位是：

int ia = sa;

ia的比特位是：

short sa1 = 13;

sa1的比特位是：

int ia1 = sa1;

ia1的比特位是：

总结：可以看出short到int的转换就是最高有效位向高位扩展了。

(2)

unsigned short usb = 13;

usb的比特位是：

unsigned ub = usb;

ub的比特位是：

unsigned short usb1 = 65532;

usb1的比特位是：

unsigned ub1 = usb1;

ub1的比特位是：

总结：可以看出unsigned short到unsigned int的转换就是0向高位扩展了。

结论：

1、对于有符号整数，短类型向长类型转换，位模式采用符号扩展

2、对于无符号整数，长类型向短类型转换，位模式采用0扩展

1.1.5 整数的截断

上一节介绍了长度较短的整数向长度较长的整数扩展机制。那么当长度较长的整数向长度较短的整数转换时，是啥样子呢？

（1） 无符号数

unsigned ua = 123456;

unsigned short usa = ua;//此时usa等于多少呢？

（123456）₁₀ =

由于unsigned short是16位长，unsigned 是32位长，所以unsigned

向unsigned short转换，只能将高16位截断，留下低16位。相当于是模数为2¹⁶ 模运算。即，usa = ua % 2¹⁶ = (1110001001000000)₂

总结：对于比特位为w位的无符号整数x , 转换为比特位为k位的无符号整数x^’ , 其中k < w。那么 x^’= x % 2^k ，通俗的讲，就是将高位的w-k位截掉。

（2） 有符号数

int ia = -2128464810;

short sa = ia;//此时ia等于多少呢？

（-2128464810）₁₀ =

由于short是16位长，int 是32位长，而我们只能用16位来表示，该怎么办呢？

办法是：

1、先对（-2128464810）₁₀ 和模数2¹⁶ 进行模运算（注意，曾经介绍过，c++中有符号整数的模运算的结果的符号类型和被除数的保持一致）。所以，（-2128464810）₁₀ % 2¹⁶ = -52138

2、将余数-52138转换为比特位是16的无符号数，即13398

3、将无符号数13398转换为有符号数，他自身13398

总结：对于比特位为w位的符号整数x , 转换为比特位为k位的符号整数x^’ , 其中k < w，过程如下：

1、求出 x % 2^k , 结果记作r

2、将r转换为比特位为k的无符号数

3、将2中的结果转换为比特位为k的有符号数，即x^’