解析协方差矩阵

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在统计学与概率论中，协方差矩阵是一个矩阵，其每个元素是各个向量元素之间的协方差。这是从标量随机变量到高维度随机向量的自然推广。假设 $X$ 是以 $n$ 个标量随机变量组成的列向量，

$X = \begin{bmatrix}X_1 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}$

并且 $\mu_i$ 是其第i个元素的期望值，即, $\mu_i = \mathrm{E}(X_i)$ 。协方差矩阵被定义的第i，j项是如下：

$\Sigma_{ij}= \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix}(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)\end{bmatrix}$

即：

$\Sigma=\mathrm{E}\left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top\right]$

$=\begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)]\end{bmatrix}$