判断点是否在三角形内 和 点是否在矩形内

转自https://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/08/05/1793393.html

概述

给定三角形ABC和一点P(x,y,z)，判断点P是否在ABC内。这是游戏设计中一个常见的问题。需要注意的是，这里假定点和三角形位于同一个平面内。

本文介绍三种不同的方法，由浅入深

一 内角和法

连接点P和三角形的三个顶点得到三条线段PA，PB和PC，求出这三条线段与三角形各边的夹角，如果所有夹角之和为180度，那么点P在三角形内，否则不在，此法直观，但效率低下。

二 同向法

   假设点P位于三角形内，会有这样一个规律，当我们沿着ABCA的方向在三条边上行走时，你会发现点P始终位于边AB，BC和CA的右侧。我们就利用这一点，但是如何判断一个点在线段的左侧还是右侧呢？我们可以从另一个角度来思考，当选定线段AB时，点C位于AB的右侧，同理选定BC时，点A位于BC的右侧，最后选定CA时，点B位于CA的右侧，所以当选择某一条边时，我们只需验证点P与该边所对的点在同一侧即可。问题又来了，如何判断两个点在某条线段的同一侧呢？可以通过叉积来实现，连接AP，将AP和AB做叉积，再将AC和AB做叉积，如果两个叉积的结果方向一致，那么两个点在同一测。判断两个向量的是否同向可以用点积实现，如果点积大于0，则两向量夹角是锐角，否则是钝角。

 

注释：为什么叉乘就可以判断方向性，因为叉乘是满足反交换律的，e= a x b = -b x a, 满足右手定则（按夹角为锐角，顺时针），顺时针由a到b，大拇指的方向就是e的方向，AP x AB  与 AC x AB 叉乘的结果是同向的，方向都是垂直三角形ABC这个平面朝上的，而AQ x AB 则是方向朝下，所以q和c不在同一侧；根据此原理就能判断一个点是否在一个三角形中。

代码如下，为了实现程序功能，添加了一个Vector3类，该类表示三维空间中的一个向量。

// 3D vector
class Vector3
{
public:
    Vector3(float fx, float fy, float fz)
        :x(fx), y(fy), z(fz)
    {
    }

    // Subtract
    Vector3 operator - (const Vector3& v) const
    {
        return Vector3(x - v.x, y - v.y, z - v.z) ;
    }

    // Dot product
    float Dot(const Vector3& v) const
    {
        return x * v.x + y * v.y + z * v.z ;
    }

    // Cross product
    Vector3 Cross(const Vector3& v) const
    {
        return Vector3(
            y * v.z - z * v.y,
            z * v.x - x * v.z,
            x * v.y - y * v.x ) ;
    }

public:
    float x, y, z ;
};

// Determine whether two vectors v1 and v2 point to the same direction
// v1 = Cross(AB, AC)
// v2 = Cross(AB, AP)
bool SameSide(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    Vector3 AB = B - A ;
    Vector3 AC = C - A ;
    Vector3 AP = P - A ;

    Vector3 v1 = AB.Cross(AC) ;
    Vector3 v2 = AB.Cross(AP) ;

    // v1 and v2 should point to the same direction
    return v1.Dot(v2) >= 0 ;
}

// Same side method
// Determine whether point P in triangle ABC
bool PointinTriangle1(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    return SameSide(A, B, C, P) &&
        SameSide(B, C, A, P) &&
        SameSide(C, A, B, P) ;
}

三 重心法

上面这个方法简单易懂，速度也快，下面这个方法速度更快，只是稍微多了一点数学而已

三角形的三个点在同一个平面上，如果选中其中一个点，其他两个点不过是相对该点的位移而已，比如选择点A作为起点，那么点B相当于在AB方向移动一段距离得到，而点C相当于在AC方向移动一段距离得到。

所以对于平面内任意一点，都可以由如下方程来表示

P = A +  u * (C – A) + v * (B - A) // 方程1

如果系数u或v为负值，那么相当于朝相反的方向移动，即BA或CA方向。那么如果想让P位于三角形ABC内部，u和v必须满足什么条件呢？有如下三个条件

u >= 0

v >= 0

u + v <= 1

几个边界情况，当u = 0且v = 0时，就是点A，当u = 0,v = 1时，就是点B，而当u = 1, v = 0时，就是点C

整理方程1得到P – A = u(C - A) + v(B - A)

令v0 = C – A, v1 = B – A, v2 = P – A，则v2 = u * v0 + v * v1，现在是一个方程，两个未知数，无法解出u和v，将等式两边分别点乘v0和v1的到两个等式

(v2) • v0 = (u * v0 + v * v1) • v0

(v2) • v1 = (u * v0 + v * v1) • v1

注意到这里u和v是数，而v0，v1和v2是向量，所以可以将点积展开得到下面的式子。

v2 • v0 = u * (v0 • v0) + v * (v1 • v0)  // 式1

v2 • v1 = u * (v0 • v1) + v * (v1• v1)   // 式2

解这个方程得到

u = ((v1•v1)(v2•v0)-(v1•v0)(v2•v1)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

v = ((v0•v0)(v2•v1)-(v0•v1)(v2•v0)) / ((v0•v0)(v1•v1) - (v0•v1)(v1•v0))

是时候上代码了，这段代码同样用到上面的Vector3类

// Determine whether point P in triangle ABC
bool PointinTriangle(Vector3 A, Vector3 B, Vector3 C, Vector3 P)
{
    Vector3 v0 = C - A ;
    Vector3 v1 = B - A ;
    Vector3 v2 = P - A ;

    float dot00 = v0.Dot(v0) ;
    float dot01 = v0.Dot(v1) ;
    float dot02 = v0.Dot(v2) ;
    float dot11 = v1.Dot(v1) ;
    float dot12 = v1.Dot(v2) ;

    float inverDeno = 1 / (dot00 * dot11 - dot01 * dot01) ;

    float u = (dot11 * dot02 - dot01 * dot12) * inverDeno ;
    if (u < 0 || u > 1) // if u out of range, return directly
    {
        return false ;
    }

    float v = (dot00 * dot12 - dot01 * dot02) * inverDeno ;
    if (v < 0 || v > 1) // if v out of range, return directly
    {
        return false ;
    }

    return u + v <= 1 ;
}

关于重心坐标

http://mathworld.wolfram.com/BarycentricCoordinates.html 

二 、判断点是否在矩形内：

转自：http://blog.youkuaiyun.com/dapengbusi/article/details/50516126

理解了点是否在三角内，这个矩形就很好理解了

 就需要实现一下，对于一个点是否在矩形内的判断。

 只需要判断该点是否在上下两条边和左右两条边之间就行，判断一个点是否在两条线段之间夹着，就转化成，判断一个点是否在某条线段的一边上，就可以利用叉乘的方向性，来判断夹角是否超过了180度 如下图：    

     只要判断(p1 p2 X p1 p ) * (p3 p4 X p3 p)  >= 0 就说明p在边p1p2, 和边p3p4中间夹着，同理如果(p2 p3 X p2 p ) * (p4 p1 X p4 p) >= 0  则说明p点在边p1p4 和边p2p3之间 。根据右手法则试一下就知道叉乘之后的方向了，如下图所示；

    最后就是只需要判断 (p1 p2 X p1 p ) * (p3 p4 X p3 p)  >= 0  && (p2 p3 X p2 p ) * (p4 p1 X p4 p) >= 0 ;

[cpp]  view plain  copy

1. // ConsoleApplication18.cpp : Defines the entry point for the console application.  
2. //判断一个点是否在矩形内部  
3.   
4. #include "stdafx.h"  
5. #include "iostream"  
6.   
7. struct Point  
8. {  
9.     float x;  
10.     float y;  
11.     Point(float x,float y)  
12.     {  
13.         this->x = x;  
14.         this->y = y;  
15.     }  
16. };  
17. // 计算 |p1 p2| X |p1 p|  
18. float GetCross(Point& p1, Point& p2,Point& p)  
19. {  
20.     return (p2.x - p1.x) * (p.y - p1.y) -(p.x - p1.x) * (p2.y - p1.y);  
21. }  
22. //判断点是否在5X5 以原点为左下角的正方形内（便于测试）  
23. bool IsPointInMatrix(Point& p)  
24. {  
25.     Point p1(0,5);  
26.     Point p2(0,0);  
27.     Point p3(5,0);  
28.     Point p4(5,5);  
29.   
30.     return GetCross(p1,p2,p) * GetCross(p3,p4,p) >= 0 && GetCross(p2,p3,p) * GetCross(p4,p1,p) >= 0;  
31.     //return false;  
32. }  
33. using namespace std;  
34. int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])  
35. {  
36.   
37.     while(true)  
38.     {  
39.         Point testPoint(0,0);  
40.         cout << "enter  the point :" << endl;  
41.   
42.         cin >> testPoint.x >> testPoint.y;  
43.   
44.         cout << "the point is  : "<< testPoint.x << " "<< testPoint.y << endl;  
45.   
46.         cout << "the point is " << (IsPointInMatrix(testPoint)? "in the Matrix .": "not in the matrix ." )<< endl;  
47.     }  
48.        
49.     return 0;  
50. }