图的表示方法

《图的表示方法》

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（i）邻接矩阵表示法

• 如果两节点之间有一条弧，则邻接矩阵中对应的元素为1；否则为0。
• 这种表示法非常简单、直接。
• 如果网络比较稀疏，这种表示法浪费大量的存储空间，从而增加了在网络中查找弧的时间。
• 对于网络中的权，也可以用类似邻接矩阵的 矩阵表示。只是此时一条弧所对应的元素不再是1，而是相应的权而已。如果网络中每条弧赋有多种权，则可以用多个矩阵表示这些权。

（ii）关联矩阵表示法

• 在关联矩阵中，每行 <-> 节点，每列 <-> 弧
• 如果一个节点是一条弧的起点，则关联矩阵中对应的元素为1；如果一个节点是一条弧的终点，则关联矩阵中对应的元素为 -1；如果一个节点与一条弧不关联，则关联矩阵中对应的元素为0。
• 对于简单图，关联矩阵每列只含有两个非零元（一个 1，一个-1）可以看出，这种表示法也非常简单、直接。但是，在关联矩阵的所有mn 个元素中，只有 2m个为非零元。
• 如果网络比较稀疏，这种表示法也会浪费大量的存储空间。但由于关联矩阵有许多特别重要的理论性质，因此它在网络优化中是非常重要的概念。
• 对于网络中的权，也可以通过对关联矩阵的扩展来表示。例如，如果网络中每条弧有一个权，我们可以把关联矩阵增加一行，把每一条弧所对应的权存储在增加的行中。如果网络中每条弧赋有多个权，我们可以把关联矩阵增加相应的行数，把每一条弧所对应的权存储在增加的行中。

（iii）弧表示法

• 假设弧(1,2)，(1,3)，(2,4)，(3,2)，(4,3)，(4,5)，(5,3)和(5,4)上的权分别为8，9，6，4，0，3，6和7，则弧表表示如上：
• 为了便于检索，一般按照起点、终点的字典序顺序存储弧表，如上面的弧表就是按照这样的顺序存储的。

（iv）邻接表表示法

• 邻接表表示法将图以邻接表（adjacency lists）的形式存储在计算机中。
• 图的邻接表，也就是图的所有节点的邻接表的集合
• 对每个节点，它的邻接表就是它的所有出弧，用一个单向链表列出从该节点出发的所有弧，链表中每个单元对应于一条出弧。
• 为了记录弧上的权，链表中每个单元除列出弧的另一个端点外，还可以包含弧上的权等作为数据域。图的整个邻接表可以用一个指针数组表示。

（v）星形表示法

星形（star）表示法的思想与邻接表表示法的思想有一定的相似之处。对每个节点，它也是记录从该节点出发的所有弧，但它不是采用单向链表而是采用一个单一的数组表示。也就是说，在该数组中首先存放从节点1出发的所有弧，然后接着存放从节点2出发的所有孤，依此类推，最后存放从节点 出发的所有孤。对每条弧，要依次存放其起点、终点、权的数值等有关信息。这实际上相当于对所有弧给出了一个顺序和编号，只是从同一节点出发的弧的顺序可以任意排列。此外，为了能够快速检索从每个节点出发的所有弧，我们一般还用一个数组记录每个节点出发的弧的起始地址（即弧的编号）。在这种表示法中，可以快速检索从每个节点出发的所有弧，这种星形表示法称为前向星形（forward star）表示法。

例如，在例7所示的图中，仍然假设弧（1,2），（l,3），（2,4），（3,2），（4,3），（4,5），（5,3）和（5,4）上的权分别为8，9，6，4，0，3，6和7。此时该网络图可以用前向星形表示法表示如下：

《星形表示法详解及其转化算法》

注意：上面的第一张表实际上有个错误，仔细看的童鞋应该能发现，起始地址point(i) : 1 , 3 , 4 , 5 , 7 , 9 ,那个6应该是5

通常情况下会设置一个st[i] 数组，和STL类似， [st[i],st[i+1]) 恰好为以结点i开头的边下标。对应于上个例子的第一张表，则该数组为：

st[6]={1,3,4,5,7,9};

还会有一个数组对应于第二张表，主要使用第三行数据，

v[8]={2,3,4,2,3,5,3,4};

下面的程序把树的前向星表示转化成左儿子-右兄弟表示，以方便后续算法实现。

图最常用的表示法是邻接矩阵和邻接表。对于静态图（建图完毕后不再修改图的结构）往往用前向星来代替邻接表，节省空间和时间。

邻接矩阵不管输入格式如何，总是很容易得到邻接矩阵，只需要注意平行边的情况。
前向星邻接矩阵本身就包含了顶点序，因此很容易转化为前向星：

把邻接矩阵转换为前向星表示法：

把边列表转化成前向星的方法类似，只需要把第一顶点相同的结点串成链表，用计数器法进行结点编号分配，和前向星转化成左儿子-右兄弟一样每次插入到链表首部，在O(m)时间内可以建立前向星表示。当然，也可以按第一顶点为关键字直接进行快速排序，不过速度稍微慢一些