高等数学 宋浩 笔记一

进入对高数的学习啦

 函数与极限的概述

满射：每一个像至少有一个变量映射其上

 是函数的要素，性质和小例子哇

 

 函数的更多形态

 

 谈到数列的极限求解  

对收敛数列极限的探讨

收敛数列极限必唯一

 由于极限范围冲突，故极限不唯一矛盾

因为两个数间距离始终为2，无法同时位于所限区间并收敛，故该函数发散

 收敛数列必定有界

 收敛必定有界，但有界不一定收敛

 收敛数列的保号性

 

 

 

 对反三角函数图像的一些了解

 正式进入函数的极限的学习

 

 左极限和右极限

左极限：即从右至左趋近

右极限：即从左至右趋近

 

 

 函数极限性质的展开

唯一性

有界性

保号性

 

 

无穷小和无穷大

 关于极限的运算法则

 

 

 

夹逼准则：函数的夹逼定理
函数的夹逼定理[2]
F(x)与G(x)在Xo连续且存在相同的极限A，即x→Xo时, limF(x)=limG(x)=A
则若有函数f(x)在Xo的某邻域内恒有
F(x)≤f(x)≤G(x)
则当X趋近Xo,有limF(x)≤limf(x)≤limG(x)
即　A≤limf(x)≤A
故 limf(Xo)=A
简单的说：函数A>B,函数B>C，函数A的极限是X，函数C的极限也是X ，那么函数B的极限就一定是X，这个就是夹逼定理

 两个重要极限：lim((sinx)/x)=1(x->0)

                          lim(1+(1/x))^x=e(x→∞)

 

 

 合理使用换元是破题关键

 

 

 

 准则二：收敛数列必定有界

 无穷小的比较

一个重要等价关系

两个重要定理

 关于连续的定义以及间断点的认识

 

 

定理1（有界性与最大值最小值定理）：闭区间上的连续函数在该区间上有界且一定有最大值和最小值。

这就是说，如果函数 在闭区间 上连续，那么存在常数 ，使得对任一 ，满足 ；且至少有一点 ，使 是 在 上的最大值；又至少有一点 ，使 是 在 上的最小值；

定理2（零点定理）：设函数 在闭区间 上连续，且 与 异号（即 ），那么在开区间 内至少有一点 ，使 。

 

 

定理3（介值定理）：设函数 在闭区间 上连续，且在这个区间的端点取不同的函数值 ，那么对于 与 之间的任意一个数 ，在开区间 内至少有一点 ，使得 。（简言之，闭区间上的连续函数，至少取得介于端点函数值之间的一切值一次。）

证明：设 ，则 在闭区间 上连续，且由于常数 介于 之间，所以 ， 异号。根据零点定理，开区间 内至少有一点 使得 ，又 ，因此 。证毕！