P2183 [国家集训队]【一本通提高组合数学】礼物

[国家集训队]礼物

题目背景

一年一度的圣诞节快要来到了。每年的圣诞节小 E 都会收到许多礼物，当然他也会送出许多礼物。不同的人物在小 E 心目中的重要性不同，在小 E 心中分量越重的人，收到的礼物会越多。

题目描述

小 E 从商店中购买了 $n$ 件礼物，打算送给 $m$ 个人，其中送给第 $i$ 个人礼物数量为 $w_i$。请你帮忙计算出送礼物的方案数（两个方案被认为是不同的，当且仅当存在某个人在这两种方案中收到的礼物不同）。由于方案数可能会很大，你只需要输出模 $P$ 后的结果。

输入格式

输入的第一行包含一个整数 $P$，表示模数。
第二行包含两个整数 $n$ 和 $m$，分别表示小 E 从商店购买的礼物数和接受礼物的人数。
第 $3$ 到第 $(m+2)$ 行，每行一个整数，第 $(i+2)$ 行的整数 $w_i$ 表示送给第 $i$ 个人的礼物数量。

输出格式

若不存在可行方案，则输出 Impossible，否则输出一个整数，表示模 $P$ 后的方案数。

输入输出样例

样例输入1

100
4 2
1
2

样例输出1

12

样例输入2

100
2 2
1
2

样例输出2

Impossible

说明/提示

样例 1 解释

以 / 分割，/ 前后分别表示送给第一个人和第二个人的礼物编号。$12$ 种方案详情如下：

1/2 3   1/2 4   1/3 4
2/1 3   2/1 4   2/3 4
3/1 2   3/1 4   3/2 4
4/1 2   4/1 3   4/2 3

数据规模与约定

设 $P={\prod }_{i=1}^t{p}_i^{c_i}$，$p_i$ 为质数。

对于 $15\%$ 的数据，$n\le 15$，$m\le 5$，$p_i^{c_i}\le 10^5$。

在剩下的 $85\%$ 数据中，约有 $60\%$ 的数据满足 $t\le 2$，$c_i=1$，$p_i\le 10^5$，约有 $30\%$ 的数据满足 $p_i\le 200$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 10^9$，$1\le m\le 5$，$1\le p_i^{c_i}\le 10^5$，$1\le w_i\le P\le 10^9$。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int w[10005];
int p, n, m, s, k = 1;

void exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
	if (b)
	{
		exgcd(b, a % b, y, x);
		y -= a / b * x;
	}
	else
		x = 1, y = 0;
}

int inv(int a, int p)
{
	int x, y;
	exgcd(a, p, x, y);
	return (x + p) % p;
}

int qmi(int a, int b, int p)
{
	int res = 1;
	while (b)
	{
		if (b & 1)
			res = res * a % p;
		a = a * a % p;
		b >>= 1;
	}
	return res;
}

int f(int a, int p, int k)
{
	if (!a)
		return 1;
	int i, u = 1, v = 1;
	for (i = 1; i < k; ++i)
		if (i % p)
			u = i * u % k;
	for (i = a / k * k; i <= a; ++i)
		if (i % p)
			v = i % k * v % k;
	return f(a / p, p, k) * qmi(u, a / k, k) % k * v % k;
}

int g(int a, int p)
{
	if (a < p)
		return 0;
	return g(a / p, p) + a / p;
}

int h(int a, int b, int p, int k)
{
	return f(a, p, k) * inv(f(b, p, k), k) % k * inv(f(a - b, p, k), k) % k * qmi(p, g(a, p) - g(b, p) - g(a - b, p), k) % k;
}

int exlucas(int a, int b, int p)
{
	int i, j, k, l, s = 0;
	for (i = 2, j = p; i * i <= j; ++i)
	{
		if (j % i)
			continue;
		for (k = i, j /= i; !(j % i); k *= i)
			j /= i;
		l = p / k;
		s = (s + l * h(a, b, i, k) % p * inv(l, k)) % p;
	}
	if (j > 1)
	{
		l = p / j;
		s = (s + l * h(a, b, j, j) % p * inv(l, j)) % p;
	}
	return s;
}

signed main()
{
	cin >> p >> n >> m;
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		cin >> w[i];
		s += w[i];
	}
	if (s > n)
	{
		puts("Impossible");
		return 0;
	}
	for (int i = 0; i < m; ++i)
	{
		k = k * exlucas(n, w[i], p) % p;
		n -= w[i];
	}
	cout << k;
	return 0;
}

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