离散数学期末复习（3）：关系

目录

9.1 Relations and Their Properties (关系及其性质)

1.二元关系（binary relation）

（1）基本概念：

（2）自反（reflexive） 

（3）对称（symmetric）

 （4）反对称（antisymmetric）

​编辑（5）传递性（transitive）

2.复合关系

9.3 Representing Relations (关系的表示)

 1.矩阵如何表示关系

 2.矩阵运算

（1）并集和交集

 （2）矩阵复合

​编辑 （3）复合矩阵的幂

3.图是怎么表示关系的

（1）有向图

 （2）关系

9.4 Closures of Relations (关系的闭包)

1.定义：

​编辑 2.自反闭包

 3.对称闭包

 4.路径（path）

 5.传递闭包

9.5 Equivalence Relations (等价关系)

1.等价关系

 2.字符串

3.等价关系的判断（从传递性，对称性，自反性三个方面考虑）

（1）同余模

（2）除法

4.等价类（Equivalence Classes）

（1）同余类（Congruence Classes）

 （2）集合A的关系等价类的并集就是他自己

（3）集合的划分

9.6 Partial Orderings (偏序)

1.偏序的定义：

2.偏序集

 3.字典排列

4.哈塞图（Hasse Diagrams）

 （2）最大元素(maximal element(s))和最小元素(minimal element(s))

（3）最大最小元

（4）上下界

 （5）最小上下界

 （6）格（lattice）

 （7）拓扑排序（Topological Sorting）

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9.1 Relations and Their Properties (关系及其性质)

1.二元关系（binary relation）

（1）基本概念：

一个二元关系R是集合A到集合B的一个子集

 集合A上的二进制关系就是A×A的子集和集合A到A的关系

 那么集合A上面有多少关系呢？

因为A×A有n^2个元素，所以A×A有2^n^2个子集

（2）自反（reflexive） 

设R是集合A上的一个关系， 如果对A中的每一个元素x, 均有(x,   x) ∈ R， 则称R是自反关系，即 R是自反的 ⇔  ∀x(x∈A →x, x) ∈R).

例如：正整数集合上的整除关系 (正整数总能被自己整除)， 相等关系等都是自反的关系。整数集合上的大于关系， 小于关系等都不是自反的关系。

下面三个是自反关系的例子

下面是三种情况不是自反

（3）对称（symmetric）

设R是集合A上的一个关系， 如果对A中的每一个元素x和元素y,  如有(x,   y) ∈ R，必有(y, x)∈R, 则称R是对称关系，即 R是对称的 ⇔  ∀x∀y (x∈A ∧ y∈A ∧(x, y) ∈ R →  (y,  x) ∉ R) 

例如：整数集合上的等于关系，任意集合上的全域关系， 同学关系，朋友关系等都是对称的。

 （4）反对称（antisymmetric）

 

（5）传递性（transitive）

设R是集合A上的一个关系， x、y、z是A中的元素,  若(x,   y) ∈ R 和 (y, z) ∈ R,

必有(x , z) ∈ R,    则称R是传递关系。

例如：实数集合上的大于关系， 小于关系都是传递关系，同学关系、朋友关系等不一定是传递的。

2.复合关系

R1是集合A到集合B的关系

R2是集合B到集合C的关系

R2和R1的复合关系 R2R1 = 集合A到集合C的关系（有点传递的味道）

关系的幂（用归纳法）

 传递关系的幂是该关系的子集

9.3 Representing Relations (关系的表示)

 1.矩阵如何表示关系

（1）有限集之间的关系可以用零1矩阵来表示

（2）A = {a1,a2,a3,...}

B = {b1,b2,b3,...}

两个集合之间的关系R何以用来表示

 （3）如果R是自反关系，那矩阵里主对角线上的元素都是1

 （4）如果R表示对称关系，那么MR是对称矩阵

          如果R表示反对称关系，那么矩阵里i≠j时，mij = 0或者mji = 0

 2.矩阵运算

（1）并集和交集

并集就是两个矩阵相同位置上的元素按照真值表进行析取（有至少一个1为1，同0为0）

交集就是两个矩阵相同位置上的元素按照真值表进行合取（有至少一个0为0，同1为1）

 

 

 

 （2）矩阵复合

其实就是两个矩阵相乘（注意矩阵乘法的前提）