【高等数学】函数与极限_乘法算子afx等于xfx-优快云博客

映射

1.f：X→Y

X中的元素x，按法则f，Y中都有一个唯一确定的y与之对应

y是像（f（x）)，x是原像，集合X是定义域（Df），X中所有元素对应的像的集合是值域（Rf或f（X））

f的值域Rf是Y的一个子集

2.若Rf=Y，则f为X到Y上的映射或满射

3.若X中任意两个不同元素x1≠x2，它们的像f（x1）≠f（x2），则f为X到Y的单射

4.若f既是单射又是满射，则f为一一映射（或双射）

5.泛函：非空集合到数集；

变换：非空集合X到它自身

函数：数集到数集

6.逆映射：

原函数为单射时存在

7.复合映射：

定义域：

数列的极限

重点：证明数列极限，掌握模板，了解一些特殊式子的处理方法（放缩）

1.存在常数a，对于任意给定的正数ε(无论多么小），总存在正整数N，使得当n＞N，|xn-a|<ε都成立.

则a是{xn}的极限，数列{xn}收敛于a，

记作或xn→a（n→∞）

如果没有极限，就说数列是发散的

有界不一定收敛，收敛一定有界

2.几何解释：、

在数轴上作点a的ε邻域

3.关于ε

引入的 ε 不能简单看作是一个“无限接近 0 的数”，它实际是一个任意小的正数，确保了我们可以控制数列的项xn与极限值a之间的距离在任意小的范围内，而不是要求距离完全等于0
极限概念的核心是“接近”，而不是“达到”。我们通过引入任意小的 ε 来表述数列项可以尽可能接近极限L，但不需要在每个位置上严格等于 L
如果我们用 0 代替 ε，那数列项与 L 之间的距离必须永远等于 0，这违背了极限的本质，因为极限只要求数列 趋向于 某个值，而不是必须等于这个值
ε表示数列项与极限值之间的允许误差范围，0.1,0.01...
是用来量化无限接近这个概念的
先定ε（接近程度），再定n的值（接近阶段）

※4.数列极限的证明

把要证明的极限值a代入＜ε，给出N的取值（不唯一）
模板：＜ε

左式代入

分离出n（把n都放左边）,注意不等号的方向一定是n大于右式

对右式（记作B）任取一个大于B的正整数作为N，例如，N=[B]+1，则当n＞N时，就有＜ε

ε一定在分母位置，N一定要取整数
经典例题（涉及放缩与乘共轭的处理）

证明

涉及平方差：得到

进行放缩，放缩成||=2x,（进行放大，分母放小），还可以继续放大（再次把分母放小），2x放缩成x，故最后证1/x＜ε，即可套模板

5.收敛数列的极限唯一：

证明：

- 重点：反证法和ε的巧妙取值
- 假设xn→a，xn→b(a<b)，取ε=
- 则|xn-a|<ε,|xn-b|<ε,代入可得：，
- 易得这两个式子矛盾，所以收敛数列的极限唯一

6.证明某一数列发散

重点：反证，ε的巧妙取值，画图
假设xn→a，取ε=，|xn-a|<，a-<xn<a+,
由图可知xn最大值与最小值相差1，而题目xn取值为1与-1，因此矛盾，该数列没有极限，是发散的

函数的极限

重点：证明两类函数极限，掌握模板，了解一些特殊式子的处理方法（放缩）

自变量趋于有限值时函数的极限

ε-δ定义：

ε越小，δ越小
x→x0的极限值是否存在判断

1. 如果是x0+，看从+∞开始往左看，如果0的右边有定义，那么就存在

证明方法：

- 先代入不等式求出
- 例题：证明

- - 化简，，
  - 代入,∀ε＞0，要使|x+1-2|＜ε，则只需|x-1|＜ε
  - 求δ：取δ=ε，当0＜|x-x0|＜δ时，恒有|f(x)-A|＜ε

- 难题：（常数放缩）

- - 证明
  - ，而要求x-3的范围，因此需要放缩x+3，由于知道x的趋近值，不如放大为常数
  - 若放大为x+3为6，则会因为x→3可能出现x=3.00...1，因此不行
  - 因此可以把x+3放大为7，故令ε/7=δ

- 图片模板：

自变量趋于无穷大时函数的极限

注意：x要取绝对值

模板：由|f（x）-A|<ε，解得x的范围，取X=x的范围，当x>X，就有|f（x）-A|<ε
重点：x>某个范围（ε一定在分母）
如果遇到无法分离单个x出来，考虑放缩，一定要满足x是＞某个范围的，因为放缩有多种可能，且放缩都是把绝对值里的式子放大，再令其小于ε

极限的理解

无穷小与无穷大

无穷小：

- 当自变量x→x0（x→∞）时，函数值f(x)的极限为0，即f(x)→0(或f(x)等于0)，则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小。
- 定理一：自变量的同一变化过程x→x0,（x→∞）中，f（x）=A+α（α是无穷小）是函数f（x）具有极限A的充要条件
- 证明：f（x）为当x→x0的无穷小，等价为证明x→x0，f（x）的极限为0