KMP算法

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【KMP算法简介】

KMP算法是一种改进后的字符串匹配算法，由D.E.Knuth与V.R.Pratt和J.H.Morris同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。通过一个辅助函数实现跳过扫描不必要的目标串字符，以达到优化效果。

【传统字符串匹配算法的缺憾】

Bill认为，对于一种优化的算法，既要知道优化的细节，也更应该了解它的前身（至于KMP是否基于传统算法，我不清楚，这里只作语境上的前身），了解是什么原因导致了人们要去优化它，因此加入了这一段：

请看以下传统字符串匹配的代码：

C++ code

void NativeStrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[] )
{
        register int TarLen = 0;        // Length of Target
        register int PatLen = 0;        // Length of Pattern

        // Compute the length of Pattern
        while( '\0' != Pattern[PatLen] )
                PatLen++;

        while( '\0' != Target[TarLen] )
        {
                int TmpTarLen = TarLen;
                for(int i=0; i<PatLen; i++)
                {
                        if( Target[TmpTarLen++] != Pattern[i] )
                                break;
                        if( i == PatLen-1 )
                                cout<<"Native String Matching,pattern occurs with shift "<<TarLen<<endl;
                }
                TarLen++;
        }
}

【代码思想】

传统匹配思想是，从目标串Target的第一个字符开始扫描，逐一与模式串的对应字符进行匹配，若该组字符匹配，则检测下一组字符，如遇失配，则退回到Target的第二个字符，重复上述步骤，直到整个Pattern在Target中找到匹配，或者已经扫描完整个目标串也没能够完成匹配为止。

这样的算法理解起来很简单，实现起来也容易，但是其中包含了过多不必要的操作，也就是在目标串中，有些字符是可以直接跳过，不必检测的。

不妨假设我们的目标串

Target = "a b c d e a b c d e a b c d f"

需要匹配的模式串

Pattern = "c d f";

那么当匹配到如下情况时

由于 'e' != 'f' ，因此失配，那么下次匹配起始位置就是目标串的'd'字符

我们发现这里照样失配，直到运行到下述情况

也就是说，中间的四个字符 d e a b 完全没有必要检测，直接跳转到下一个'c'开始的地方进行检测

由此可见传统算法虽然简单易行，但其中包含了过多的不必要操作，并不能很好地达到实际工作中需要的效率，因此个人认为此方法适合为初识字符串匹配做一个铺垫作用，有抛砖引玉之意。

说其抛砖引玉并不为过，对KMP算法的理解便可以基于传统模式串匹配算法进行思考。

【KMP算法的引入】

既然知道了传统算法的不足之处，就要对症下药，优化这个冗余的检测算法。

KMP算法就能很好地解决这个冗余问题。

其主要思想为：

在失配后，并不简单地从目标串下一个字符开始新一轮的检测，而是依据在检测之前得到的有用信息（稍后详述），直接跳过不必要的检测，从而达到一个较高的检测效率。

如我们的

当第一次失配后，并不从红色标记字符'd'开始检测，而是通过一些有用信息，直接跳过后几个肯定不可能匹配的冗余字符，而直接让模式串Pattern从目标串的红色标记字符'c'开始新一轮的检测，从而达到了减少循环次数的效果

【KMP算法思想详述与实现】

前面提到，KMP算法通过一个“有用信息”可以知道目标串中下一个字符是否有必要被检测，这个“有用信息”就是用所谓的“前缀函数（一般数据结构书中的next函数）”来存储的。

这个函数能够反映出现失配情况时，系统应该跳过多少无用字符（也即模式串应该向右滑动多长距离）而进行下一次检测，在上例中，这个距离为4.

总的来讲，KMP算法有2个难点：

一是这个前缀函数的求法。

二是在得到前缀函数之后，怎么运用这个函数所反映的有效信息避免不必要的检测。

下面分为两个板块分别详述：

【前缀函数的引入及实现】

【前缀函数的引入】

对于前缀函数，先要理解前缀是什么：

简单地说，如字符串A = "abcde" B = "ab"

那么就称字符串B为A的前缀，记为B ⊏ A(注意那不是"包含于"，Bill把它读作B前缀于A)，说句题外话——"⊏"这个符号很形象嘛，封了口的这面相当于头，在头前面的就是前缀了。

同理可知 C = "e","de" 等都是 A 的后缀，以为C ⊐ A（Bill把它读作C后缀于A）

理解了什么是前、后缀，就来看看什么是前缀函数：

在这里不打算引用过多的理论来说明，直接引入实例会比较容易理解，看如下示例：

(下述字符若带下标，则对应于图中画圈字符)

这里模式串 P = “ababaca”,在匹配了 q=5 个字符后失配，因此，下一步就是要考虑将P向右移多少位进行新的一轮匹配检测。传统模式中，直接将P右移1位，也就是将P的首字符'a'去和目标串的'b'字符进行检测，这明显是多余的。通过我们肉眼的观察，可以很简单的知道应该将模式串P右移到下图'a3'处再开始新一轮的检测，直接跳过肯定不匹配的字符'b'，那么我们“肉眼”观察的这一结果怎么把它用语言表示出来呢？

我们的观察过程是这样的：

P的前缀"ab"中'a' != 'b'，又因该前缀已经匹配了T中对应的"ab"，因此，该前缀的字符'a1'肯定不会和T中对应的字串"ab"中的'b'匹配，也就是将P向右滑动一个位移是无意义的。

接下来考察P的前缀"aba"，发现该前缀自身的前缀'a1'与自身后缀'a2'相等，"a1 b a2" 已经匹配了T中的"a b a3"，因此有 'a2' == 'a3', 故得到 'a1' == 'a3'......

利用此思想，可推知在已经匹配 q=5 个字符的情况下，将P向右移当且仅当 2个位移时，才能满足既没有冗余(如把'a'去和'b'比较)，又不会丢失(如把'a1' 直接与 'a4' 开始比较，则丢失了与'a3'的比较)。

而前缀函数就是这样一种函数，它决定了q与位移的一一对应关系，通过它就可以间接地求得位移s。

通过对各种模式串进行上述分析(大家可以自己多写几个模式串出来自己分析理解)，发现给定一个匹配字符数 q ，则唯一对应一个有效位移，如上述q=5,则对应位移为2.

这就形成了一一对应关系，而这种唯一的关系就是由前缀函数决定的。

这到底是怎样的一种关系呢？

通过对诸多模式串实例的研究，我们会找到一个规律（规律的证明及引理详见《算法导论(第二版)》）。

上例中，P 已经匹配的字符串为"ababa",那么这个字符串中，满足既是自身真后缀(即不等于自身的后缀)，又是自身最长前缀的字符串为"aba"，我们设这个特殊字串的长度为L，显然，L = 3. 故我们要求的 s = q - L = 5 - 3 = 2 ，满足前述分析。

根据这个规律，即可得到我们要求的有效位移s，等于已经匹配的字符数 q 减去长度 L。

即 s = q - L

因为这个长度 L 与 q 一一对应，决定于q，因此用一函数来表达这一关系非常恰当，这就是所谓的前缀函数了。

因为已经分析得到该关系为一一对应关系，因此用数组来表示该函数是比较恰当的，以数组的下标表示已经匹配的字符数 q，以下标对应的数据存储 L。

【前缀函数的实现】

下面就来分析怎么用代码来表达这种关系。

这里采用《算法导论(第二版)》中的思想求解。

不妨以 PrefixFunc[] 表示这个前缀函数，那么我们将得到以下求前缀函数的函数：

由于 0 个匹配字符数在计算中没有意义，因此PrefixFunc下标从1开始，也就是从已经有一个字符(即首字符)匹配的情况开始

C++ code

// Compute Prefix function
void CptPfFunc( ElemType Pattern[], int PrefixFunc[] )
{

        register int iLen = 0;    // Length of Pattern[]
        while( '\0' != Pattern[iLen] )
                iLen++;

        int LOLP = 0;     // Lenth of longest prefix
        PrefixFunc[1] = 0;

        for( int NOCM=2; NOCM<iLen+1; NOCM++ )     // NOCM represent the number of characters matched
        {
                while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )
                        LOLP = PrefixFunc[LOLP];
                if( Pattern[LOLP] == Pattern[NOCM-1] )
                        LOLP++;
                PrefixFunc[NOCM] = LOLP;
        }
}

对此函数的详解，不妨以一实例带入(建议大家自己手算一下，算完应该就有感觉了)，易于理解：

不妨设模式串Pattern = "a b c c a b c c a b c a"

Pattern 数组编号： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

NOCM 表示已经匹配的字符数

LOLP 表示既是自身真后缀又是自身最长前缀的字符串长度

以下是计算流程：

PrefixFunc[1] = 0； //只匹配一个字符就失配时，显然该值为零

LOLP = 0； NOCM = 2； LOLP = 0; PrefixFunc[2] = 0;

LOLP = 0； NOCM = 3； LOLP = 0; PrefixFunc[3] = 0;

LOLP = 0； NOCM = 4； LOLP = 0; PrefixFunc[4] = 0;

LOLP = 0； NOCM = 5； LOLP = 1; PrefixFunc[5] = 1;

LOLP = 1； NOCM = 6； LOLP = 2; PrefixFunc[6] = 2;

LOLP = 2； NOCM = 7； LOLP = 3; PrefixFunc[7] = 3;

LOLP = 3； NOCM = 8； LOLP = 4; PrefixFunc[8] = 4;

LOLP = 4； NOCM = 9； LOLP = 5; PrefixFunc[9] = 5;

LOLP = 5； NOCM = 10； LOLP = 6; PrefixFunc[10] = 6;

LOLP = 6； NOCM = 11； LOLP = 7; PrefixFunc[11] = 7;

LOLP = 7； NOCM = 12；

---------此时满足条件while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )-------------

while语句中的执行

{

LOLP = 7; NOCM = 12; LOLP = PrefixFunc[7] = 3;

LOLP = 3; NOCM = 12; LOLP = PrefixFunc[3] = 0;

}

LOLP = 0； NOCM = 12； LOLP = 1; PrefixFunc[12] = 1;

最后我们的前缀函数 PrefixFunc[] = { 0,0,0,0,1,2,3,4,5,6,7,1 }

其间最精妙的要属失配时的操作

while( LOLP>0 && (Pattern[LOLP] != Pattern[NOCM-1]) )
LOLP = PrefixFunc[LOLP];

其中 LOLP = PrefixFunc[LOLP]; 递归调用PrefixFunc函数，直到整个P字串都再无最长前缀或者找到一个之前的满足条件的最长前缀。

【应用前缀函数优化传统匹配算法——KMP算法实现】

由以上分析，不难推导KMP算法的实现

C++ code

void KMPstrMatching( ElemType Target[], ElemType Pattern[] )
{
        int PrefixFunc[MAX_SIZE];
        register int TarLen = 0;
        register int PatLen = 0;

        // Compute the length of array Target and Pattern
        while( '\0' != Target[TarLen] )
                TarLen++;

        while( '\0' != Pattern[PatLen] )
                PatLen++;

        // Compute the prefix function of Pattern
        CptPfFunc( Pattern, PrefixFunc );

        int NOCM = 0;     // Number of characters matched

        for( int i=0; i<TarLen; i++ )
        {
                while( NOCM>0 && Pattern[NOCM] != Target[i] )
                        NOCM = PrefixFunc[NOCM];
                if( Pattern[NOCM] == Target[i] )
                        NOCM++;
                if( NOCM == PatLen )
                {
                        cout<<"KMP String Matching,pattern occurs with shift "<<i - PatLen + 1<<endl;
                        NOCM = PrefixFunc[NOCM];
                }
        }
}

KMP算法要解决的问题就是在字符串（也叫主串）中的模式（pattern）定位问题。说简单点就是我们平时常说的关键字搜索。模式串就是关键字（接下来称它为P），如果它在一个主串（接下来称为T）中出现，就返回它的具体位置，否则返回-1（常用手段）。

首先，对于这个问题有一个很单纯的想法：从左到右一个个匹配，如果这个过程中有某个字符不匹配，就跳回去，将模式串向右移动一位。这有什么难的？

我们可以这样初始化：

之后我们只需要比较i指针指向的字符和j指针指向的字符是否一致。如果一致就都向后移动，如果不一致，如下图：

A和E不相等，那就把i指针移回第1位（假设下标从0开始），j移动到模式串的第0位，然后又重新开始这个步骤：

基于这个想法我们可以得到以下的程序：

 1 /**
 2 
 3  * 暴力破解法
 4 
 5  * @param ts 主串
 6 
 7  * @param ps 模式串
 8 
 9  * @return 如果找到，返回在主串中第一个字符出现的下标，否则为-1
10 
11  */
12 
13 public static int bf(String ts, String ps) {
14 
15     char[] t = ts.toCharArray();
16 
17     char[] p = ps.toCharArray();
18 
19     int i = 0; // 主串的位置
20 
21     int j = 0; // 模式串的位置
22 
23     while (i < t.length && j < p.length) {
24 
25        if (t[i] == p[j]) { // 当两个字符相同，就比较下一个
26 
27            i++;
28 
29            j++;
30 
31        } else {
32 
33            i = i - j + 1; // 一旦不匹配，i后退
34 
35            j = 0; // j归0
36 
37        }
38 
39     }
40 
41     if (j == p.length) {
42 
43        return i - j;
44 
45     } else {
46 
47        return -1;
48 
49     }
50 
51 }

上面的程序是没有问题的，但不够好！（想起我高中时候数字老师的一句话：我不能说你错，只能说你不对~~~）

如果是人为来寻找的话，肯定不会再把i移动回第1位，因为主串匹配失败的位置前面除了第一个A之外再也没有A了，我们为什么能知道主串前面只有一个A？因为我们已经知道前面三个字符都是匹配的！（这很重要）。移动过去肯定也是不匹配的！有一个想法，i可以不动，我们只需要移动j即可，如下图：

上面的这种情况还是比较理想的情况，我们最多也就多比较了再次。但假如是在主串“SSSSSSSSSSSSSA”中查找“SSSSB”，比较到最后一个才知道不匹配，然后i回溯，这个的效率是显然是最低的。

大牛们是无法忍受“暴力破解”这种低效的手段的，于是他们三个研究出了KMP算法。其思想就如同我们上边所看到的一样：“利用已经部分匹配这个有效信息，保持i指针不回溯，通过修改j指针，让模式串尽量地移动到有效的位置。”

所以，整个KMP的重点就在于当某一个字符与主串不匹配时，我们应该知道j指针要移动到哪？

接下来我们自己来发现j的移动规律：

如图：C和D不匹配了，我们要把j移动到哪？显然是第1位。为什么？因为前面有一个A相同啊：

如下图也是一样的情况：

可以把j指针移动到第2位，因为前面有两个字母是一样的：

至此我们可以大概看出一点端倪，当匹配失败时，j要移动的下一个位置k。存在着这样的性质：最前面的k个字符和j之前的最后k个字符是一样的。

如果用数学公式来表示是这样的

P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

这个相当重要，如果觉得不好记的话，可以通过下图来理解：

弄明白了这个就应该可能明白为什么可以直接将j移动到k位置了。

因为:

当T[i] != P[j]时

有T[i-j ~ i-1] == P[0 ~ j-1]

由P[0 ~ k-1] == P[j-k ~ j-1]

必然：T[i-k ~ i-1] == P[0 ~ k-1]

公式很无聊，能看明白就行了，不需要记住。

这一段只是为了证明我们为什么可以直接将j移动到k而无须再比较前面的k个字符。

好，接下来就是重点了，怎么求这个（这些）k呢？因为在P的每一个位置都可能发生不匹配，也就是说我们要计算每一个位置j对应的k，所以用一个数组next来保存，next[j] = k，表示当T[i] != P[j]时，j指针的下一个位置。

很多教材或博文在这个地方都是讲得比较含糊或是根本就一笔带过，甚至就是贴一段代码上来，为什么是这样求？怎么可以这样求？根本就没有说清楚。而这里恰恰是整个算法最关键的地方。

 1 public static int[] getNext(String ps) {
 2 
 3     char[] p = ps.toCharArray();
 4 
 5     int[] next = new int[p.length];
 6 
 7     next[0] = -1;
 8 
 9     int j = 0;
10 
11     int k = -1;
12 
13     while (j < p.length - 1) {
14 
15        if (k == -1 || p[j] == p[k]) {
16 
17            next[++j] = ++k;
18 
19        } else {
20 
21            k = next[k];
22 
23        }
24 
25     }
26 
27     return next;
28 
29 }

这个版本的求next数组的算法应该是流传最广泛的，代码是很简洁。可是真的很让人摸不到头脑，它这样计算的依据到底是什么？

好，先把这个放一边，我们自己来推导思路，现在要始终记住一点，next[j]的值（也就是k）表示，当P[j] != T[i]时，j指针的下一步移动位置。

先来看第一个：当j为0时，如果这时候不匹配，怎么办？

像上图这种情况，j已经在最左边了，不可能再移动了，这时候要应该是i指针后移。所以在代码中才会有next[0] = -1;这个初始化。

如果是当j为1的时候呢？

显然，j指针一定是后移到0位置的。因为它前面也就只有这一个位置了~~~

下面这个是最重要的，请看如下图：

请仔细对比这两个图。

我们发现一个规律：

当P[k] == P[j]时，

有next[j+1] == next[j] + 1

其实这个是可以证明的：

因为在P[j]之前已经有P[0 ~ k-1] == p[j-k ~ j-1]。（next[j] == k）

这时候现有P[k] == P[j]，我们是不是可以得到P[0 ~ k-1] + P[k] == p[j-k ~ j-1] + P[j]。

即：P[0 ~ k] == P[j-k ~ j]，即next[j+1] == k + 1 == next[j] + 1。

这里的公式不是很好懂，还是看图会容易理解些。

那如果P[k] != P[j]呢？比如下图所示：

像这种情况，如果你从代码上看应该是这一句：k = next[k];为什么是这样子？你看下面应该就明白了。

现在你应该知道为什么要k = next[k]了吧！像上边的例子，我们已经不可能找到[ A，B，A，B ]这个最长的后缀串了，但我们还是可能找到[ A，B ]、[ B ]这样的前缀串的。所以这个过程像不像在定位[ A，B，A，C ]这个串，当C和主串不一样了（也就是k位置不一样了），那当然是把指针移动到next[k]啦。

有了next数组之后就一切好办了，我们可以动手写KMP算法了：

 1 public static int KMP(String ts, String ps) {
 2 
 3     char[] t = ts.toCharArray();
 4 
 5     char[] p = ps.toCharArray();
 6 
 7     int i = 0; // 主串的位置
 8 
 9     int j = 0; // 模式串的位置
10 
11     int[] next = getNext(ps);
12 
13     while (i < t.length && j < p.length) {
14 
15        if (j == -1 || t[i] == p[j]) { // 当j为-1时，要移动的是i，当然j也要归0
16 
17            i++;
18 
19            j++;
20 
21        } else {
22 
23            // i不需要回溯了
24 
25            // i = i - j + 1;
26 
27            j = next[j]; // j回到指定位置
28 
29        }
30 
31     }
32 
33     if (j == p.length) {
34 
35        return i - j;
36 
37     } else {
38 
39        return -1;
40 
41     }
42 
43 }

和暴力破解相比，就改动了4个地方。其中最主要的一点就是，i不需要回溯了。

最后，来看一下上边的算法存在的缺陷。来看第一个例子：

显然，当我们上边的算法得到的next数组应该是[ -1，0，0，1 ]

所以下一步我们应该是把j移动到第1个元素咯：

不难发现，这一步是完全没有意义的。因为后面的B已经不匹配了，那前面的B也一定是不匹配的，同样的情况其实还发生在第2个元素A上。

显然，发生问题的原因在于P[j] == P[next[j]]。

所以我们也只需要添加一个判断条件即可：

public static int[] getNext(String ps) {

    char[] p = ps.toCharArray();

    int[] next = new int[p.length];

    next[0] = -1;

    int j = 0;

    int k = -1;

    while (j < p.length - 1) {

       if (k == -1 || p[j] == p[k]) {

           if (p[++j] == p[++k]) { // 当两个字符相等时要跳过

              next[j] = next[k];

           } else {

              next[j] = k;

           }

       } else {

           k = next[k];

       }

    }

    return next;

}

好了，至此。KMP算法也结束了。