Java N*M 网格(表格)中的矩形数量

给定一个 N*M 的网格，打印其中的矩形数量。

示例： 

输入： N = 2，M = 2
输出： 9
有 4 个大小为 1 x 1 的矩形。
有 2 个大小为 1 x 2 的矩形
有 2 个大小为 2 x 1 的矩形
有一个大小为 2 x 2 的矩形。

输入： N = 5，M = 4
输出： 150
输入： N = 4，M = 3
输出： 60

强力破解方法：

迭代所有可能的水平线对。
迭代所有可能的垂直线对。
计算一下可以用这些线形成的矩形的数量。 

以下是上述方法的代码： 

import java.util.Scanner;
 
public class RectangleCount {
    public static int rectCount(int n, int m) {
        int count = 0;
        // Iterate over all possible pairs of horizontal lines
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            // Iterate over all possible pairs of vertical lines
            for (int j = 1; j <= m; j++) {
                // Count the number of rectangles that can be formed using these lines
                count += (n - i + 1) * (m - j + 1);
            }
        }
        return count;
    }
 
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = 5, m = 4;
        // Calculate and print the count of rectangles
        System.out.println("Count of Rectangles: " + rectCount(n, m));
    }
} 

输出：150

时间复杂度： O(N^2)
空间复杂度： O(1)

我们已经讨论了如何计算 n*m 网格中的方块数，参考如下文章：
计算矩形中的正方形数量：
C++：C++ 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)_c++怎么数正方形数量-优快云博客
C语言：C语言 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)-优快云博客
Java：Java 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)-优快云博客
Python：Python 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)-优快云博客
C#：C# 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)-优快云博客
javascript：javascript 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)-优快云博客
PHP：PHP 计算矩形中的正方形数量(Count number of squares in a rectangle)-优快云博客

现在让我们推导出矩形数量的公式：
如果网格是 1×1，则有 1 个矩形。 
如果网格是 2×1，则会有 2 + 1 = 3 个矩形 
如果网格是 3×1，则会有 3 + 2 + 1 = 6 个矩形。 
我们可以说，对于 N*1，将有 N + (N-1) + (n-2) … + 1 = (N)(N+1)/2 个矩形
如果我们在 N×1 中再添加一列，那么首先，第二列中的矩形数量将与第一列一样多， 
然后我们将有相同数量的 2×M 个矩形。 
所以 N×2 = 3 (N)(N+1)/2
推导出来后我们可以说 
对于 N*M 我们有 (M)(M+1)/2 (N)(N+1)/2 = M(M+1)(N)(N+1)/4
所以总矩形的公式将是 M(M+1)(N)(N+1)/4 。

组合逻辑：

N*M 网格可以表示为 (N+1) 条垂直线和 (M+1) 条水平线。
在矩形中，我们需要两条不同的水平线和两条不同的垂直线。
因此，按照组合数学的逻辑，我们可以选择 2 条垂直线和 2 条水平线来形成一个矩形。这些组合的总数就是网格中可能出现的矩形的数量。

N*M 网格中的矩形总数：N+1 C 2 * M+1 C 2 = (N*(N+1)/2!)*(M*(M+1)/2!) = N*(N+1)*M*(M+1)/4，公式如图：

示例代码： 

// JAVA Code to count number of 
// rectangles in N*M grid
import java.util.*;
 
class GFG {
     
    public static long  rectCount(int n, int m)
    {
        return (m * n * (n + 1) * (m + 1)) / 4;
    }
     
    /* Driver program to test above function */
    public static void main(String[] args) 
    {
        int n = 5, m = 4;
       System.out.println(rectCount(n, m));
    }
}
 
// This code is contributed by Arnav Kr. Mandal.

输出：150

时间复杂度： O（1）

辅助空间： O（1），因为没有占用额外的空间。

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