一道概率题-51nod11B

原题来自51nod算法马拉松11:我是链接

B君很喜欢去竞技场（Arena）

我们将竞技场规则简化如下：

1.每个人进入竞技场后，会等概率随机匹配一个人，匹配到的人与当前胜利和失败场数无关。

2. 胜利达到x场，或失败达到y场后，退出竞技场，根据退出时的胜利场数获得奖励，不能中途放弃。

3. 水平高的选手，总能战胜水平低的选手，不存在水平相等的人。

4. 竞技场有无穷多的人。

B君并不知道自己的水平，你可以认为B君的水平是在所有人中的等概率随机。

B君想知道自己退出时期望胜利场数是多少。

(0 < x, y <= 20)

其中一种解答:

假如算出所有情况发生的概率，那么答案只要用期望的定义，即胜利的场数乘以相应的概率再求和就可以算出来；考虑总共进行了$a+b$场比赛,其中$a$场比赛胜利的概率，为了简化问题，先不考虑退出竞技场的条件，设这个概率为$P(a,b)$

根据定义，我们可以写出 $${ P(a,b)= \lim_{n\to\infty} {\frac{1}{n^{a+b+1}}\sum_{i=0}^{n}{i^{a}(n-i)^b}} \qquad }$$

将内层的求和用二项式定理展开得到 $${ P(a,b)= \lim_{n\to\infty} {\frac{1}{n^{a+b+1}}\sum_{i=0}^{n}\sum_{j=0}^{b}C_{n}^{j}(-1)^{j}i^{a+j}n^{b-j} } \qquad }$$

注意观察这个右侧这个和式，他是一个关于$i$的$a+b$次多项式，对$i$从$0$到$n$的求和必然是一个关于$n$的$a+b+1$次多项式，而外面$n$的最高次恰好也是$a+b+1$,根据求极限的法则，有限个无穷小的项可以舍去，因此只需要关注多重和式中最后$n$的$a+b+1$前的系数$Q(a,b)$即为答案 $${ Q(a,b)= \sum_{i=0}^{b}{\frac{(-1)^j}{j+a+1}C_{b}^{j}} \qquad }$$ 这仍然是一个和式,利用高阶差分的二项式定理展开 $${ \Delta^n=(E-1)^n= \sum_{k}{(-1)^{n-k}E^kC^k_n} \qquad （1） }$$ 令$f(x)=(x-1)^{\underline{-1}}= \frac{1}{x}$,一方面，对$f(x)$逐次求差分可得$\Delta^nf(x)=\frac{(-1)^n}{C^{n}_{x+n}x}$,结合$(1)$,可得 $${ \sum_{k}{(-1)^{n-k}\frac{1}{x+k}C^k_n}=\frac{(-1)^n}{C^{n}_{x+n}x} \qquad （2） }$$ 将这个式子代入$n=b,x=a+1$,可以立即得到结果 $${ Q(a,b)= \sum_{i=0}^{b}{\frac{(-1)^j}{j+a+1}C_{b}^{j}}=\frac{1}{C^{a}_{a+b}(a+b+1)} \qquad （3） }$$ $(3)$式不仅说明了在没有退赛限制的条件下赢了$a$场输了$b$场这一事件发生的概率，也表明假如总共进行了$n$场比赛，那么赢了$0,1,2...n$场比赛发生的概率是相同的。

最后，由于概率已知，我们只需要利用动态规划求出赢场出局的方案数，再乘以概率和赢得场数，累加起来就是答案。至此，本题得到了解决