差分约束系统整理

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本文详细介绍了差分约束系统，包括定义、原理，以及如何应用于求解最大值/最小值问题。通过与最短路问题的对比，阐述了如何通过建立有向图并利用SPFA或Dijkstra算法来解决此类问题。同时，文章提供了多种实例题目，帮助理解差分约束系统的实际应用。

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预备知识：最短路SPFA/Dijkstra等

一、定义

如果一个系统由n个变量和m个约束条件组成，形成m个形如ai-aj≤k的不等式(i,j∈[1,n],k为常数),则称其为差分约束系统(system of difference constraints)。亦即，差分约束系统是求解关于一组变量的特殊不等式组的方法。（百度词条）

简单来说，只要问题能够被转化成一组 xi - xj <= k 的不等式，都可以用差分约束系统求解。（k的正负不重要）

二、原理

原理很简单，将 xi - xj <= k 移项得 xi + (-k) <= xj，与最短路中的松弛操作 d(u) + w(u, v) <= d(v) 非常类似，所以求解最大值/最小值的过程可以看作求解最短路中的松弛过程。

举个栗子：

给定不等式组

B - A <= a

C - A <= c

C - B <= b

求 C-A 的最大值，可以看出 max(C - A) = min(c, a + b)，对应下图中A到C的最短路

观察上面例子中的不等式，都是 xi - xj <= k ，移项得 xi <= xj + k，我们记 v = xi, u = xj, k = w(xj, xi) = w(u, v)，dis[v]=xi，dis[u] = xj，那么原式就变为：dis[u]+w(u,v)>=dis[v]，对比最短路中的松弛操作：

if (dis[u] + w[u][v] < dis[v]) {
    dis[v] = dis[u] + w[u][v];
}

在最短路问题中经过松弛操作后，我们会得到 dis[v] <= dis[u] + w[u][v]，和上式相同！因此我们可以通过判断最短路是否有解得出差分约束系统是否有解，通过求最短路/最长路得到差分约束系统的最大值/最小值。

具体表现为：

1、若要求xn - x1的最大值，就是求图中点x1到xn的最短路。经过松弛以后每条边都满足 dis[v] <= dis[u] + w[u][v]，对每个不等式 xi - xj <= k 进行建边，把xj看成u，xi看作v，建立一条xj指向xi的有向边，边权为k。

2、若要求xn - x1的最小值，就是求点x1到nx的最长路。经过松弛以后每条边都有 dis[v] >= dis[u] + w[u][v]，对于不等式 xi - xj <= k，先转换为 xj >= xi + (-k)，此时可建立一条xi指向xj的有向边，边权为-k。

三、应用及步骤

3.1 建图

根据题目描述找出系统中的约束条件，根据需求建图。

差分约束系统有三种类型的题目：

1、求差的最大值，即最短路，建图方式可用上一部分中说到的第一种方法；

2、求差的最小值，即最长路，建图方式可用上一部分中的第二种方法；

3、判断是否有解，即是否有负环，此时用最长路和最短路建图方式都可以。

对于形如 xi - xj < k 的不等式，可以转化成 xi - xj <= k - 1 的形式。

对于 xi - xj == k，可添加 xi - xj >= k 和 xi - xj <= k 两个不等式。

3.2* 超级源点

有时候会遇到建出来的图是不连通的情况，这时候需要添加一个超级源点S0，从S0到任意顶点的距离都是0，这样的话能够保证构造的图是连通的且不引入负环，不会对最长路的结果造成影响。如果是最短路，可以S0到任意顶点都置为inf。

如果使用SPFA求最短路，可以不用附加顶点，初始的时候把所有顶点都加入队列, 并且将所有dis置0, 这就相当于加了一个不存在的附加顶点, 它与所有的顶点的直连长度都是0。

3.3 最短路/最长路

求最长路只需要初始将dis置于无穷小，使用 if(d[v] < d[u]+w(u,v)) 进行更新即可。

因为建好的图大部分情况下是有负边的，所以主要用SPFA，还可以判断负环。但是如果题目中保证了没有负边，最好用dijkstra+heap来写，因为时间稳定，不会被卡掉。这一点详见poj3159 https://blog.youkuaiyun.com/hcx11333/article/details/70942046

3.4 判断负环

用spfa即可，如果有顶点入队次数超过了顶点数，说明发生了存在死循环更新，此时结束算法即可。