图论 - 多源最短路径（Floyd）

最新推荐文章于 2024-08-18 00:40:26 发布

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本文详细介绍了Floyd-Warshall算法，一种用于解决图中任意两点间最短路径问题的经典动态规划算法。该算法能有效处理含有负权边的图，但不适用于存在负权环的情况。文章提供了算法的定义、原理及代码实现，帮助读者深入理解并掌握Floyd-Warshall算法的应用。

文章目录

定义
原理
代码

定义

通过Floyd-Warshall算法可以求出图中任意两点的最短路径，可以处理负权边，但不能处理负权环。时间复杂度为 $O(N^3)$ 。

原理

Floyd-Warshall算法的原理是动态规划。

设 $D_{i,j,k}$ 为从结点 $i$ 到结点 $j$ 的只以结点 $(1 . . . k)$ 为中间结点的最短路径长度。

若最短路径经过点 $k$ ，则 $D_{i,j,k}=D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1}$ 。
若最短路径不经过点 $k$ ，则 $D_{i,j,k}=D_{i,j,k-1}$ 。

因此， $D_{i,j,k}=min(D_{i,j,k-1},D_{i,k,k-1}+D_{k,j,k-1})$ 。

在实际算法中，为了节约空间，可以直接在原来空间上进行迭代，这样空间可降至二维。

代码

洛谷P2910

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;

const int MAXN = 105;
int graph[MAXN][MAXN];
int n, m;
int trace[10005];

int main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 0; i < m; ++i) {
        scanf("%d", trace + i);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            scanf("%d", &graph[i][j]);
        }
    }

    for (int k = 1; k <= n; ++k) {
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            for (int j = 1; j <= n; ++j) {
                graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j]);
            }
        }
    }

    int sum = 0;
    for (int i = 0; i < m - 1; ++i) {
        sum += graph[trace[i]][trace[i+1]];
    }
    printf("%d\n", sum);

    return 0;
}