线性基算法解析-优快云博客

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定义
例题一：最大异或和
例题二：第K小异或和

定义

线性基是向量空间的一组基，通常可以解决有关异或的一些题目。

通俗一点的讲法就是由一个集合构造出来的另一个集合，它有以下几个性质：

线性基的元素能相互异或得到原集合的元素的所有相互异或得到的值。
线性基是满足性质 1 的最小的集合。
线性基没有异或和为 0 的子集。
线性基中每个元素的异或方案唯一，也就是说，线性基中不同的异或组合异或出的数都是不一样的。
线性基中每个元素的二进制最高位互不相同。

线性基的构造方法：

对原集合的每个数 x 转为二进制，从高位向低位扫描，对于第 i 位是 1 的，如果 base[i] 未定义，那么令 base[i] = x 并结束扫描；如果已定义，令 x = x xor base[i] 。

void insert(ll num) {
    for (int i = 62; i >= 0; --i) {
        if (num >> i) {
            if (!base[i]) {
                base[i] = num;
                break;
            }
            num ^= base[i];
        }
    }
}

例题一：最大异或和

洛谷P3812
给定一组整数，从中选取任意个，求出最大异或和。

思路：构造完线性基以后，置 ans = 0，从高位到低位扫描 base，如果 ans ^ base[i] > ans（等价于 ans 第 i 位为 0），则更新 ans 的值。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;

typedef long long ll;

int n;
ll base[65];

void insert(ll num) {
    for (int i = 62; i >= 0; --i) {
        if (num >> i) {
            if (!base[i]) {
                base[i] = num;
                break;
            }
            num ^= base[i];
        }
    }
}

int main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        ll val;
        scanf("%lld", &val);
        insert(val);
    }
    ll ans = 0;
    for (int i = 62; i >= 0; --i) {
        if ((ans ^ base[i]) > ans) {
            ans ^= base[i];
        }
    }
    printf("%lld\n", ans);

    return 0;
}

例题二：第K小异或和

HDU 3949
给定一个数组，查询第K小的异或和。

思路：

构造线性基，首先特判能否异或出0，如果能异或出0，那么将K的值减一。

我们知道每个基的最高位是唯一的，因此要求出第K小，首先提取出base数组中所有非空元素组成新的数组_base，

对于K，将其转换为二进制，假设K=13，对应二进制为1101。那么_base[3]（对应二进制1）一定要取，然后依次判断：

对于_base[2]（对应二进制1），如果异或上以后能使结果变大，那么取，否则不取。
对于_base[1]（对应二进制0），如果异或上以后能使结果变小，那么取，否则不取。
对于_base[0]（对应二进制1），如果异或上以后能使结果变大，那么取，否则不取。

#include <iostream>
#include <vector>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <map>
#include <set>
#include <cstring>
#include <climits>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <stack>
#include <cmath>
#include <cassert>
using namespace std;

typedef long long ll;
int n, t, q;
ll base[65];
bool zero;

void insert(ll num) {
    for (int i = 62; i >= 0; --i) {
        if (num >> i) {
            if (!base[i]) {
                base[i] = num;
                return;
            }
            num ^= base[i];
        }
    }
    zero = true;
}

ll query(ll k) {
    if (zero) {
        --k;
    }
    vector<ll> _base;
    for (int i = 0; i <= 62; ++i) {
        if (base[i]) {
            _base.emplace_back(base[i]);
        }
    }
    int _base_cnt = _base.size();
    if (k < 0 || k >= (1ll << _base_cnt))
        return -1;
    ll res = 0;
    for (int i = _base_cnt - 1; i >= 0; --i) {
        if ((k >> i) & 1) {
            res = max(res, res ^ _base[i]);
        } else {
            res = min(res, res ^ _base[i]);
        }
    }
    return res;
}

int main() {
#ifdef DEBUG
    freopen("in.txt", "r", stdin);
#endif
    scanf("%d", &t);
    for (int kase = 1; kase <= t; ++kase) {
        memset(base, 0, sizeof(base));
        zero = false;
        printf("Case #%d:\n", kase);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            ll val;
            scanf("%lld", &val);
            insert(val);
        }
        scanf("%d", &q);
        while (q--) {
            ll k;
            scanf("%lld", &k);
            printf("%lld\n", query(k));
        }
    }

    return 0;
}