51nod-1225 余数之和（分区间处理）

最新推荐文章于 2020-03-29 12:45:30 发布

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分类专栏：数论

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本文深入解析了1225余数之和算法题，介绍了如何通过将区间分割为两部分来优化计算过程，避免暴力求解。针对大范围的n值，提出了一种高效的算法解决方案，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1225 余数之和

基准时间限制：1 秒空间限制：131072 KB 分值: 80 难度：5级算法题

F(n) = (n % 1) + (n % 2) + (n % 3) + ...... (n % n)。其中%表示Mod，也就是余数。

例如F(6) = 6 % 1 + 6 % 2 + 6 % 3 + 6 % 4 + 6 % 5 + 6 % 6 = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3。

给出n，计算F(n), 由于结果很大，输出Mod 1000000007的结果即可。

Input

输入1个数N(2 <= N <= 10^12)。

Output

输出F(n) Mod 1000000007的结果。

Input示例

Output示例

题解：

n有1e12这么大，肯定不能暴力。

我们考虑将区间分成[1,sqrt(n)]和[sqrt(n)，n]这两个区间。

对于第一个区间，我们直接累加答案即可。

对于第二个区间我们发现，由于除数很大，其n/i在很大范围内是一样。

并且在n/i相同的这一区间内其贡献满足等差数列，到这里问题就解决了。

#include<math.h>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long 
#define mod 1000000007
ll n,ans,last;
ll inv=500000004;//2的逆元
int main(void)
{
	scanf("%lld",&n);
	ll m=(ll)sqrt(n+0.5);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
		ans=(ans+n%i)%mod;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		ll num=((n/i)%mod-n/(i+1)%mod+mod)%mod;
		ans=(ans+n%i*num%mod+(num*(num-1)%mod)%mod*inv%mod*i%mod)%mod;
	}
	if(n/m==m) ans=(ans-(n%m)+mod)%mod;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}