算法时间复杂度求解法

  算法的时间复杂度,是刚开始接触算法和数据结构时的概念,在真正使用的时候有时候常常忘记它的推导公式。最近准备校招,把二叉树、排序、查找等这些经典的算法复习了一遍,这次把这些都整理成博客以便以后查看,复习计划接近尾声,这两天老是不在状态,学习图的时候有点晕乎乎,今天反过头来把时间复杂度的求解法整理一下,还是颇有收获,以前很多地方自己存在着理解误差。希望对大家也有所帮助,有不对的地方还请多指教。

在进行算法分析时,语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数,进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度,也就是算法的时间量度,基座T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大,算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同,称作算法的渐进算法时间复杂度,简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

一般用大写O()来表示算法的时间复杂度写法,通常叫做大O记法。

一般情况下,随着n的增大,T(n)增长最慢的算法为最优算法。

O(1):常数阶

O(n):线性阶

O(n2):平方阶

 

大O推导法:

  1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
  2. 在修改后的运行函数中,只保留最高阶项
  3. 如果最高阶项存在且不是1,则去除与这个项相乘的常数

 

常数阶:

int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行一次*/
printf("%d",sum);            /*执行一次*/

这个算法的运行次数f(n) = 3,根据推导大O阶的方法,第一步是将3改为1,在保留最高阶项是,它没有最高阶项,因此这个算法的时间复杂度为O(1);

另外,

复制代码
int sum = 0 ; n = 100;        /*执行一次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第1次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第2次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第3次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第4次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第5次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第6次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第7次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第8次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第9次*/
sum = (1+n)*n/2;             /*执行第10次*/
printf("%d",sum);            /*执行一次*/
复制代码

 

上面的两段代码中,其实无论n有多少个,本质是是3次和12次的执行差异。这种与问题的大小无关,执行时间恒定的算法,成为具有O(1)的时间复杂度,又叫做常数阶。

注意:不管这个常数是多少,3或12,都不能写成O(3)、O(12),而都要写成O(1)

此外,对于分支结构而言,无论真假执行的次数都是恒定不变的,不会随着n的变大而发生变化,所以单纯的分支结构(不在循环结构中),其时间复杂度也是O(1)。

 

线性阶:

线性阶的循环结构会复杂一些,要确定某个算法的阶次,需要确定特定语句或某个语句集运行的次数。因此要分析算法的复杂度,关键是要分析循环结构的运行情况。

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
  /*时间复杂度为O(1)的程序*/      
}

 

对数阶:

int count = 1;
while(count < n){
  count = count * 2;
  /*时间复杂度为O(1)的程序*/    
}

 

因为每次count*2后,距离结束循环更近了。也就是说有多少个2 相乘后大于n,退出循环。

数学公式:2x = n    -->     x = log2n

因此这个循环的时间复杂度为O(logn)

 

平方阶:

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = 0 ; j < n ; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
    }    
}

 

上面的程序中,对于对于内层循环,它的时间复杂度为O(n),但是它是包含在外层循环中,再循环n次,因此这段代码的时间复杂度为O(n2)。

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = 0 ; j < m ; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
    }    
}

 

但是,如果内层循环改成了m次,时间复杂度就为O(n*m)

 

再来看一段程序:

int i;
for(i = 0 ; i < n ; i++){
   for(j = i ; j < n ; j++){
    /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
    }    
}

 

注意:上面的内层循环j = i ;而不是0

因为i = 0时,内层循环执行了n次,当i=1时,执行了n-1次……当i=n-1时,执行了1次,所以总的执行次数为:

n+(n-1)+(n-1)+...+1 = n(n+1)/2  =  n2/2 + n/2

根据大O推导方法,保留最高阶项,n2/2 ,然后去掉这个项相乘的常数,1/2

因此,这段代码的时间复杂度为O(n2)

 

下面,分析调用函数时的时间复杂度计算方法:

首先,看一段代码:

复制代码
int i,j;

void function(int count){
print(count);
}

for(i = 0 ; i < n ; i++){
function (i)
}

复制代码

 

函数的时间复杂度是O(1),因此整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是这样的:

void function(int count){
  int j;
  for(j = count ; j < n ;j++){
        /*时间复杂度为O(1)的程序*/
 }
}

 

和第一个的不同之处在于把嵌套内循环放到了函数中,因此最终的时间复杂度为O(n2)

 

再来看一个比价复杂的语句:

复制代码
n++;                                      /*执行次数为1*/
function(n);                              /*执行次数为n*/
int i,j;
for(i = 0 ; i < n ; i++){                 /*执行次数为nXn*/
  function(i);  
}
for(i = 0 ; i < n ; i++){                /*执行次数为n(n+1)/2*/
  for(j = i ; j < n ; j++){
      /*时间复杂度为O(1)的程序*/  
  }  
}    
复制代码

 

它的执行次数f(n) = 1 + n + nn(n+1)/+ 3/2n2+3/n+1,

根据推导大O阶的方法,最终它的时间复杂度为:O(n2)

 

常见的时间复杂度:

执行次数函数术语描述
12O(1)常数阶
2n+3O(n)线性阶
3n2+2n+1O(n2)平方阶
5log2n+20O(log2n)对数阶
2n+3nlog2n+19O(nlogn)nlog2n阶
6n3+2n2+3n+4O(n3)立方阶
2nO(2n)指数阶

 

 

 

 

 

 

 

 

时间复杂度所耗费的时间是:

O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) <O(2n) < O(n!) <O(nn)

### 使用递归树方法进行算法时间复杂度分析 #### 方法概述 递归树是一种用于可视化和理解递归算法执行过程及其成本分布的有效工具。通过构建递归树,可以直观地看到每一层调用的成本以及这些成本是如何累积起来影响总运行时间的。 对于给定的一个递归关系 T(n),其中 n 表示输入规模大小: - **根节点**代表原始问题的整体代价; - **子节点**表示分解后的各个更小子问题对应的代价; - 每一层对应一次函数调用中的工作量分配情况; 最终目标是从这棵树中推导出总的渐近上界 O(f(n)) 或者 Θ(g(n))[^1]。 #### 示例:二分查找的时间复杂度分析 考虑经典的二分查找算法,在最坏情况下其递归表达式可写作: \[T(n)=\begin{cases}O(1),& \text{n=1}\\T(\frac{n}{2})+O(logn), & \text{n>1}\end{cases}\] 绘制相应的递归树如下所示: ``` Level 0: c*log(n) Cost at root level (initial problem size) / \ Level 1: c*log(n/2) c*log(n/2) Two subproblems of half the original input size each ... ... / \ / \ Level log₂n:c*log(1)...c*log(1) Each leaf node represents base case with constant cost. ``` 观察上述结构可知: - 总共有 \(log_{2}(n)+1\) 层(因为每次都将数组减半直到只剩下一个元素为止) - 所有叶子结点的数量等于初始序列长度 n - 各级分支上的操作数相加得到每层固定开销为常数乘以当前处理的数据集尺寸对数值 因此整个递归过程中所花费的最大时间为各级别之和即: \[T(n)\leqslant c*\sum _{{i}=0}^{log_{{2}}({n})}[log({{\frac {n}{2^{i}}}])]\approx cn\cdot log(n)-cn+c\in O(logn)\] ```python def binary_search(arr, target): low, high = 0, len(arr) - 1 while low <= high: mid = (low + high) // 2 if arr[mid] == target: return mid elif arr[mid] < target: low = mid + 1 else: high = mid - 1 return None ```
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