欧拉公式理解

欧拉公式是数学中最迷人的公式之一,它巧妙地连接了e、π、i、1和0等数学常数。本文深入探讨了虚数i的本质,解释了欧拉公式如何将正弦波统一为指数形式,并展示了它在描述旋转和频率方面的核心作用,揭示其在宏观和微观物理学中的重要意义。

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欧拉公式是数学里最令人着迷的公式之一,它将数学里最重要的几个常数联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e,圆周率π;两个单位:虚数单位i和自然数的单位1,以及数学里常见的0。
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在欧拉公式中,虚数i占有特殊的地位,认识这个公式就需先从i开始:

虚数i大家在高中接触过,但那时我们只知道它是-1的平方根,可是它真正的意义是什么呢?

这里有一条数轴,在数轴上有一个红色线段,它的长度是1。当它乘以3的时候,它的长度发生了变化,变成了蓝色的线段3,而当它乘以-1的时候,就变成了绿色的线段,或者说线段在数轴上围绕原点旋转了180度。
我们知道乘-1其实就等于乘了两次 i,因i×i=-1,这样就使线段旋转了180度,那么乘一次 i 呢?

答案很简单:旋转了90度呗。
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这个公式的关键作用就是将正弦波统一成了简单的指数形式,我们来看看它图像上的涵义
可见,欧拉公式所描绘的正是在复平面上做圆周运动的点,随着时间的改变,这个点在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分,也就是螺旋线在左侧的投影,就是一个最基础的余弦函数,而右侧投影则是一个正弦函数。
现代物理学告诉我们,宏观宇宙的构成本质是旋转的,带有圆周运动和自旋性;微观世界也是旋转的,也带有圆周运动和自旋性,而欧拉公式描述的核心正是旋转与频率,因此,在物理学定量意义上讲,称它是宇宙第一公式一点也不为过!

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