提升方法AdaBoost算法

1、提升方法

提升方法就是从弱学习算法出发，反复学习，得到一系列弱分类器(又称为基本分类器)，然后组合弱分类器，构成一个强分类器。大多数提升的方法都是改变训练数据的的概率分布(训练数据的权值分布)。

2、提升方法相关问题

（1）在每一轮如何改变训练数据的权值或者概率分布？

Adaboost的做法就是，提高那些前一轮弱分类器错误分类样本的权值，而降低那些被正确分类样本的权值。

（2）如何将弱分类器组合成一个强分类器？

Adaboost采取加权多数表决的方法。加大分类误差率小的弱分类器的权值，使其在表决中起较大的作用，减小弱分类器误差率大的弱分类器的权值，使其在表决中起较小的作用。

3、AdaBoost算法

训练数据

序号	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$x$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
$y$	1	1	1	-1	-1	-1	1	1	1	-1

步骤：
(1)初始化数据的权值$D_1=\{w_1,...,w_N\}$
一共10个样本，所以
$w_1=w_2=...=w_{10}=\frac{1}{N}=0.1$
(2)在权值分布为$D_1$上构建基本分类器$G_1(x)$如下

$$G_1(x)=\left\{\begin{matrix} 1,\qquad x<2.5\\ \\ -1, \qquad x>2.5 \end{matrix}\right. \tag{1}$$
因为2.5作为分界线使得分类的误差最低。
注意，基本分类器$G_m(x)$的分类误差的计算如下。即基本分类器对整个数据划分，划分不正确的样本的权值之和。
$$e_m=P(G_m(x_i)\neq y_i)=\sum_{G_m(x_i)\neq y_i}w_{mi} \tag{2}$$
(3)计算$G_1(x)$在数据集上的误差
因为$G_1(x)$分类器的划分界限是5.5，即序号为$\{7,8,9\}$的3个样本被错误分类，他们的权值都是0.1，所以$e_1=0.3$
(3)计算$G_1(x)$的系数，公式如下
$$\alpha_m=\frac{1}{2}log\frac{1-e_m}{e_m} \tag{3}$$
注意：公式(3)是个递减函数，意味着分类器的误差越大，其权重系数越小，在表决中作用越小。
所以，$\alpha_1=\frac{1}{2}log\frac{1-e_1}{e_1}=0.4236$
(4)更新训练数据的权值分布，公式如下
$$w_i=\frac{w_i e^{-\alpha_m y_i G_m(x_i)}}{ \sum_{i=1}^{N}w_i e^{-\alpha_m y_i G_m(x_i)}} \tag{4}$$
注意：公式(4)的$-\alpha_m y_i G_m(x_i)$项表明，在分类器正确分类的情况下，该项值<0,而错误分类时候，该项值>0，又$e^x$是个递增函数，意味着错误的样本的权值被加大。
经过公式(4)变换，得到新的权值分布$D_2$
$$D_2=(0.07143，0.07143，0.07143，0.07143，0.07143，0.07143，0.16667，0.16667，0.16667，0.07143)$$
从中可以看到原来被错误分类序号为$\{4,5,6\}$的3个样本的权值得到加强。
(5)构建基本分类器的线性组合$f_m(x)$，公式如下:
$$f_m(x)=\sum_{m=1}^{M}\alpha_m G_m(x)$$
当前的线性组合为
所以$f_1(x)=\alpha_1 G_1(x)=0.4236*G_1(x)$
分类器$sign[f_1(x)]$在训练集上有3个错分样本。
其中，sign(x)或者Sign(x)叫做符号函数，在数学和计算机运算中，其功能是取某个数的符号（正或负）：当x>0，sign(x)=1;当x=0，sign(x)=0;当x<0， sign(x)=-1。
由于线性组合分类器还有错误样本。所以，继续上面的步骤(2)-(5).
(6)在权值分布为$D_2$上构建基本分类器$G_2(x)$如下
$$G_2(x)=\left\{\begin{matrix} 1,\qquad x<8.5\\ \\ -1, \qquad x>8.5 \end{matrix}\right. \tag{5}$$
因为新的权值分布如下，取分界限8.5时候序号为$\{4,5,6\}$的3个样本被错误分类，他们的权值都是0.07143，使得误差最小，为$e_2=0.07143*3=0.21429$。(注意，前一轮错误分类的序号为$\{7,8,9\}$，在本轮中被正确分类了，因为其权值变大，使得不能再错误分类他们，如果继续错误分类他们，根据误差的计算原理，计算得出的误差将比较大)
$$D_2=(0.07143，0.07143，0.07143，0.07143，0.07143，0.07143，0.16667，0.16667，0.16667，0.07143)$$
(7)计算$\alpha_2,D_3等$
得到$f_2=\alpha_1 G_1(x)+\alpha_2 G_2(x)$
判断$sign[f_2(x)]$是否还有错误分类的点
。。。
最终得到分类器
$G(x)=sign[f_m(x)]$