ny完全背包

完全背包

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难度： 4

描述

直接说题意，完全背包定义有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的体积是c，价值是w。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。本题要求是背包恰好装满背包时，求出最大价值总和是多少。如果不能恰好装满背包，输出NO

输入

第一行： N 表示有多少组测试数据（N<7）。 
接下来每组测试数据的第一行有两个整数M，V。 M表示物品种类的数目，V表示背包的总容量。(0<M<=2000，0<V<=50000)
接下来的M行每行有两个整数c，w分别表示每种物品的重量和价值(0<c<100000，0<w<100000)

输出

对应每组测试数据输出结果（如果能恰好装满背包，输出装满背包时背包内物品的最大价值总和。 如果不能恰好装满背包，输出NO）

样例输入

2
1 5
2 2
2 5
2 2
5 1

样例输出

NO
1

完全背包，每种物体有无限多个，求能装满背包的最大的价值；

0-1背包，每种物体只有一个，求背包能装下的最大价值

数组初始化的时候要赋值一个负值，但是第0位应该赋值为0，这个负值的大小是有测试数据决定的。

背包问题（01背包和完全背包）
     

      

       
　　背包问题是一个经典的动态规划模型，容易描述，容易理解。背包问题可简单描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。01背包问题的特点是，每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
       
01背包问题描述：
       
　　有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的重量是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的重量总和不超过背包容量，且价值总和最大。
       
写出状态转移方程：
       
　　f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
       
f[i][v]:  前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值
       
f[i-1][v]:  前i-1件物品……（同上），即不放入第i件物品的情况
       
f[i-1][v-c[i]]+w[i]:  放入第i件物品的情况，放入后的 f[i][v] 应该等于前 i-1 件物品在容量为 v-c[i] 上的最大价值加上 w[i]
       
空间优化：
       
　　f[i][v]=max{f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i]}
       
　　观察黑色字体部分，发现二维数组完全可以用一维数组替代：
       
　　f[v]=max{f[v], f[v-c[i]]+w[i]}
       
程序怎么写？循环如何写？
       
　　首先考虑如果所有的物品都能放进去，那一定就是最大价值，如果只能放进去 i （i<N）件物品，那一定要选择一个最优策略，这个策略的结果是价值最大，而每个 i 的最优策略实际上又是基于 i-1 的最优策略的。根据分析写出如下循环
       
　　for(i=0; i<N; ++i)
       
　　　　for(v=V; v>w[i]; --v)  //逆序推能够保证 f[v-c[i]] 保存的是状态是 f[i-1][v-c[i]] ，也就是每个物品只被使用了一次；顺序的话 f[v-c[i]] 保存的是 f[i][v-c[i]] ，每个物品有可能被使用多次，也就是完全背包问题的解法。
       
　　　　　　f[v]=max(f[v], f[v-c[i]]+w[i])
      
     
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[50050];
struct node{
	int c;
	int w;
}s[2020];
int main(){
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		int n,m;
		int c,w;
		int i,j,k;
		scanf("%d %d",&n,&m);
		for(i=0;i<n;i++){
			scanf("%d %d",&s[i].c,&s[i].w);
		}
		for(j=1;j<=m;j++)
		dp[j]=-1000000;//0-1的区别 
		dp[0]=0; 
		for(i=0;i<n;i++){
			for(j=s[i].c;j<=m;j++){//0-1背包是降序； 
				dp[j]=max(dp[j],dp[j-s[i].c]+s[i].w);
			}
		}
		if(dp[m]>0)
		printf("%d\n",dp[m]);
		else
		printf("NO\n");
	}
	return 0;
}