浅谈图象的全变分和去噪

全变分（Total variation），也称为全变差，是图象复原中常用的一个名词。本文简要介绍全变分的概念以及在图象去噪中的应用。

一维信号的全变分和去噪

一维连续函数的全变分

一维连续实函数$f(x)$在区间$[a,b]\subset R$上的全变分定义为参数曲线$x\to f(x),x\in [a,b]$的弧长。其表达式为

$$V_a^b(f)={\int }_a^b|f^{\prime }(x)|dx$$

说白了，所谓的“变分”就是$|f(x+\Delta x)-f(x)|$，对于连续函数$\Delta x\to 0$。而全变分是对函数定义的区间而言的，就是将“变分”在区间上累加起来。

一维离散信号的全变分

从上面连续实函数的全变分，我们可以很容易想到它的离散形式。给出信号序列{yi},i=1,..,n\{y_i\},i=1,..,n{yi​},i=1,..,n，它的全变分定义为

$$V(y)=\sum _{i=1}^n|y_{i+1}-y_i|$$

用一句话来概括，全变分是前后项之差的绝对值之和。

一维信号去噪

当我们得到观察信号$x_i$，希望$x_i$变得平滑，也就是对$x_i$去噪。一种很直观的想法就是让信号的全变分变小。全变分对应的物理意义就是输入信号的平滑度。设得到的恢复信号为$y_i$，它应该满足两个条件：

• $y_i$与观察信号$x_i$的差距不大。这个差距的常用数学表达式就是

$$E(x,y)=\frac{1}{2}\sum _i(x_i-y_i{)}^2$$

• $y_i$的全变分不大。

将物理约束转化为数学模型，求解$y$等价于求解下面这个优化问题：

$$\underset{y}{\min }E(x,y)+\lambda V(y)$$

其中参数$\lambda$是正常数，用于调节两个约束的作用大小。注意到$E(x,y)$和$V(y)$都是凸函数，这是一个无约束凸优化问题，有很多经典方法可以求解。

二维离散信号（图象）的全变分和去噪

图象是典型的二维离散信号，Rudin在1992年将其全变分定义为

$$V(y)=\sum _{i,j}\sqrt{|y_{i+1,j}-y_{i,j}{|}^2+|y_{i,j+1}-y_{i,j}{|}^2}$$

这个函数是各项同性的，但是不可微。这个形式的全变分求解比较困难，因此二维全变分有另一种常用定义
$$\begin{array}{rl}V(y)& =\sum _{i,j}\sqrt{|y_{i+1,j}-y_{i,j}{|}^2}+\sqrt{|y_{i,j+1}-y_{i,j}{|}^2}\\ & =\sum _{i,j}|y_{i+1,j}-y_{i,j}|+|y_{i,j+1}-y_{i,j}|\end{array}$$

这个函数容易在最小化问题中求解了。

仿照一维信号的去噪，基于全变分的图象去噪可以看成求解优化问题

$$\underset{y}{\min }E(x,y)+\lambda V(y)$$

其中$E(x,y)$作为数据误差项定义为

$$E(x,y)=\frac{1}{2}\sum _{i,j}(x_{i,j}-y_{i,j}{)}^2$$

当$V$有凸函数形式时，问题变为无约束凸优化问题，从而容易求解。