艾洛积分系统（Elo Rating System）

一、基本公式

A、B 两个待比较、评价的对象，分别打分为$R_A$，$R_B$，则各自获胜的期望值为：

$$\left\{ \begin{split} E_A=\frac1{1+10^{(R_B-R_A)/400}}\\ E_B=\frac1{1+10^{(R_A-R_B)/400}}\\ \end{split} \right.$$

不妨令$Q_A=10^{R_A/400}, Q_B=10^{R_B/400}$，则有：

$$\left \{ \begin{split} E_A=\frac{Q_A}{Q_A+Q_B}\\ E_B=\frac{Q_B}{Q_A+Q_B}\\ \end{split} \right.$$

推论：
$E_A+E_B=1$
$\frac{E_A}{E_B}=\frac{Q_A}{Q_B}$

二、积分公式

本轮比赛的积分公式为：

$$R'_A=R_A+K(S_A-E_A)$$
这里，$R'_A$代表本轮比赛结束后得到的新积分；
$R_A$代表上轮比赛结束后的积分；
K为积分系数，对于专业运动员，可取K = 16，对于初级运动员，可取K = 32；
$S_A$代表比赛实际得分，对于每局比赛来说，赢为1，平手为0.5，输为0；
$E_A$代表比赛期望得分。

三、举例

某运动员当前评分为 1613，其参加了一个 5 轮的锦标赛，结果分别如下：
（1）输给了一个评分为 1609 分的运动员；
$\frac1{1+10^{(1609-1613)/400}}\approx 0.51$

（2）平了一个评分 1477 分的运动员；
$\frac1{1+10^{(1477-1613)/400}}\approx 0.69$

（3）赢了一个评分为 1388 分的运动员；
$\frac1{1+10^{(1388-1613)/400}}\approx 0.79$

（4）赢了一个评分为 1586 分的运动员；
$\frac1{1+10^{(1586-1613)/400}}\approx 0.54$

（5）输给了一个评分为 1720 分的运动员 ；
$\frac1{1+10^{(1720-1613)/400}}\approx 0.35$

则运动员的真实得分为：$S=0+0.5+1+1+0=2.5$
运动员的期望得分为：$E=0.51+0.69+0.79+0.54+0.35=2.88$
此时运动员的打分为：$1613+32(2.5-2.88)=1601$

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