Door in wall

1. 你面对一堵左右无限延伸的墙；

2. 该墙有且只有1扇门，它在离你 n 步远的地方；

3. 你不知道 n 的大小，也不知道门在你左边还是右边；

4. 你一次能够向左或者向右走一步，你只有走到门所在的位置才能出去。

请设计一个O(n)的算法，找到这扇门。

算法思路如下:

按一下顺序走:

    先向左走1步，再向右走2步，再向左走4步....每次改变方向，且

每次走上一次的2倍。

坐标设置：人的起点为0，向右走表示正，向左表示负

设置参数k, n.

其中k表示第几次走

n是离远点（人起始点）的距离

如下：

第k次走              该方向上所走的步数     此时的坐标

第一次向右边走1步       1 = 2^0              1

第二次向左边走2步       -2 = -2^1             1+（-2）= -1

第三次向右边走4步       4 = 2^2              1+（-2）+4 = 3

第四次向左边走8步       -8 = -2^3             1+（-2）+4+（-8）= -5

第五次向右边走16步      16 = -2^4             1-2+4-8+16 = 11

......                      .......                 .............

第k-1次向左走           -2^(k-1)             . .............

第k次向右边走           2 = 2^k              1-2+4-8+...- 2^(k-1)+2^k

2^k - 2^(k-1) + 2^(k-2) - 2^(k-3) .... =  走完第k次时的坐标 
当  abs（2^k - 2^(k-1) + 2^(k-2) - 2^(k-3) ....） >=  abs(n)
且  abs (2^(k-2) - 2^(k-3) + 2^(k-4) - 2^(k-5) ....)  <  abs(n)
的时候刚能找到门,其中因为n有正负，所以用到abs()。

此时一共走了 S =  2^k + 2^(k-1) + 2^(k-2)+ ....  = 2^(k +1) - 1 = 2^(k+1)  (-1零头不算) 

这里我们假设n>0，即门在右边，此时就不要abs了（省去了abs）
因为 2^(k-2) - 2^(k-3) + 2^(k-4) - 2^(k-5) .... < n    。。。。1式
所以有
4 * 1式也就是
2^k - 2^(k-1) + 2^(k-2) - 2^(k-3) .... < 4n           。。。。2式

再1式*8有
2^(k+1) - 2^(k) + 2^(k-1) - 2^(k-2) .... < 8n          。。。。3式
前面2式和3式相加得出  2^(k+1)  <  12n  =  O(n) 

当n<0的时候，同理证明。

综上所得 S = 2^(k+1) < 12*N= O(N)  其中k为第几次走，N为距离(即N = abs(n) )

/************************************************* 
 * 算法思路:                                     *
 *     先向左走1步，再向右走2步，再向左走4步.... *
 * 每次改变方向，且每次走上一次的2倍。           *
 *************************************************
 * 建立坐标:                                     *
 * 人的其实位置为0，人的右边正，左边为负         *
 *************************************************/

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

int main()
{
	int sum;     //一共走了多少步，即就是最后的复杂度O(n)
	int zuobi;   //存储当前坐标值
	int step;    //当前要走的步数
    int flag;    //flag表示方向，1:右边  -1: 左边
	int n;       //n是输入数，门所在坐标的位置
	int k;       //记录第几次走

	//循环输入n
	while(cin >> n)
	{
		//初始化
		sum = 0;  
		step = 1;          //开始时只走一步
		flag = 1;          //先往右边走
		zuobi = 0;         //开始的坐标为0
		k = 0;

		//先右走，再左走，再右，再左...所以是个循环
		while(1)
		{
		    
			//右边方向走
			if(flag > 0)
			{
				k++;
				sum += step;  //总走步数
				zuobi = zuobi + flag*step;   //坐标值
				
				cout << "第" << k << "次要往右走-> " << step 
					 << "步, 走完后的坐标: " << zuobi << endl; 

				//方向改变
				flag *= -1;

				//步数增倍
			    step *= 2;
			}
		    else
			if(flag < 0)   //左边方向
			{
                sum += step;   //总走步数
				zuobi = zuobi + flag*step;   //坐标值

				cout << "第" << k << "次要往左走<- " << step 
					 << "步, 走完后的坐标: " << zuobi << endl; 
				
				//方向改变
				flag *= -1;

				//步数增倍
			    step *= 2;
			}
		
			//n*zuobi >0 是表示门door 和 此时的坐标在一个方向上
			
			//在该方向走完，刚好找到了门
            if( (n*zuobi>0) &&  (abs(n) == abs(zuobi)))
			{
				cout << "人一共走了: " << sum << "步找到了门!\n"<< endl;
				break;
			}
			else//在该方向上还未走完就找到门
				if( (n*zuobi>0) &&  (abs(n) < abs(zuobi)))
				{
					//减去未走完的步数
					sum =  sum - (abs(zuobi) - abs(n));
					cout << "人一共走了: " << sum << "步找到了门!\n"<< endl;
					break;
				}
		}
	}

	return 0;
}