递推

递推概述

1. 递推的概念
   递推是一种应用非常广泛的常用算法之一，与递归有着密切的联系。
   在纷繁变幻的世界，所有事物都随时间的流逝发生着微妙的变化。许多现象的变化是有规律可循的，这种规律往往呈现出前因后果的关系。某种现象的变化结果与紧靠它前面变化的一个或一些结果紧密关联。递推的思想正体现了这一变化规律。

2. 递推算法
   所谓递推，是在命题归纳时，可以由n−k,…,n−1的情形推得n的情形。
   递推关系是一种高效的数学模型，是组合数学中的一个重要解题方法，在组合计数中有着广泛的应用。在概率方面利用递推可以解决一类基本事件个数较大的概率问题。在对多项式的求解过程中，很多情况可以使用递推算法来实现。 在行列式方面，某些n阶行列式只用初等变换难以解决，但如果采用递推求解则显得较为容易。
   递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用，由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显示出其独特的魅力。
   递推是利用问题本身所具有的一种递推关系求解问题的一种方法。设要求问题规模为n的解，当n=1时，解或为已知，或能非常方便地得到解。能采用递推法构造算法的递推性质，能从已求得的规模为1,2,…,i−1的一系列解，构造出问题规模为i的解。这样，程序可从i=0或i=1出发，重复地由已知至i−1规模的解，通过递推，获得规模为i的解，直至得到规模为n的解。
   递推算法的基本思想是把一个复杂的庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复，该算法充分利用了计算机的运算速度快和不知疲倦的特点，从头开始一步步地推出问题最终的结果。使用递推算法编程，既可使程序简练，又可节省计算时间。
   对于一个序列来说，如果已知它的通项公式，那么要求出数列中某项之值或求数列的前n项之和是简单的。但是，在许多情况下，要得到数列的通项公式是困难的，甚至无法得到。然而，一个有规律的数列的相邻位置上的数据项之间通常存在着一定的关系，可以借助已知的项，利用特定的关系逐项推算出它的后继项的值，直到找到所需的那一项为止。递推算法避开了求通项公项的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成连续的若干步简单运算。
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