0-1背包二维转一维_js0-1背包问题二维变一维-优快云博客

01背包的理解，二维数组化一维数组的理解（附hdu2602 Bone Collector）

2016年07月30日 16:41:00 1016人阅读评论(0) 收藏举报

(function () {
        try
        {
            var lib = eval("("+ (function () {        try        {            var lib = eval("("+ $(function () { try { var lib = eval("("+$ ("#lib").attr("value")+")"); var html = ""; if (lib.err == 0) { $.each(lib.data, function (i) { var obj = lib.data[i]; //html += '

' + obj.name + " "; html += ' '; html += '

'; html += ' ' + obj.name + ''; html += ' '; }); if (html != "") { setTimeout(function () {

("#lib").html(html); ("#lib").html(html); $("#lib").html(html);$ ("#embody").show(); }, 100); } } } catch (err) { } });

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                   动态规划<em>（3）</em>
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                   算法<em>（12）</em>
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            <h3 id="01背包问题"><a name="t0" target="_blank"></a>01背包问题：</h3>

有n个物品和一个容量为v的背包，用val[i]表示第i个物品的价值，用vol[i]表示第i个物品的体积，那么，如何使背包里装的物品的总价值最大呢？

贪心是不行的，举个反例：

n=3， v=100

val[i]	vol[i]
80	60
50	50
50	50

按照val[i]/vol[i]比值从大到小贪心，那么会得到错误答案80，但是正确答案是100

动态规划的思想：

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=0; j<=v; j++){
    if(j>=vol[i])
        dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i]);
        else
        dp[i+1][j] = dp[i][j];
    }
}
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如何理解这段代码呢？我们设dp[i][j]为前i件物品放在容量为j的背包里所能得到的最大价值，那么思考一下，每个物品都只有两种可能，放或不放，这就是为什么叫做01背包的原因。那么，我们将第i件物品放在容量为j的背包中，使dp[i][j]最大，那么对于第i件物品，也只有两种操作。于是，我们可以很容易想到，我们不放第i件物品时，是不是需要先知道dp[i-1][j]的值呢？这就形成了dp，形成了一种递推关系。另一种可能，假设我们放第i件物品，那么，首先需要考虑当前容量j是否放得下物品i，假设放得下，将j减去vol[i]，即在剩余的体积放前i件所得到的最大的价值为dp[i][j-vol[i]]，所以总价值为dp[i][j-vol[i]] +val[i]。

那么，状态转移方程为：

dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i])

或者：
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-vol[i]]+val[i])

这两种写法要注意数组是从0开始还是从1开始
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明显的，时间复杂度是O(n*v)

但是我们还能将空间复杂度降低，从二维降为一维。

看下面这段代码：

memset(dp, 0, sizeof(dp));
for(int i=0; i<n; i++){
    for(int j=v; j>=vol[i]; j--){
    dp[j] = max(dp[j], dp[j-vol[i]]+val[i])
    }
}
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如何理解二维降一维呢？对于外层循环中的每一个i值，其实都是不需要记录的，在第i次循环时，所有的dp[0…v]都还未更新时，dp[j]还记录着前i-1个物品在容量为j时的最大价值，这样就相当于还记录着dp[i-1][j]和dp[i-1][j-vol[i]]+val[i]。

为什么要从v开始递减遍历？我举个例子，假设一个物品GG价值1000，体积为2，那么假设我们按【0…..v】这个顺序遍历，那么在j=2时，dp[2] = max(dp[2], dp[0]+1000)，那么dp[2] = 1000，当j=4时，dp[4]=max(dp[4], dp[2]+1000)， dp[4] = 2000，这时我们再思考一下，GG将被放进背包两次！！，如果我们逆序遍历，就可以避免这种结果。

此外，这里可以进行一个常数优化，将j>=vol[i]写进for循环中。

大家可以看一下hdu2602这一题，是一题单纯的01背包。

题目：

Bone Collector

Problem Description
Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

Input
The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

Output
One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 231).

Sample Input
1
5 10
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1

Sample Output
14

用二维数组解：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int val[maxn];
int vol[maxn];
int dp[maxn][maxn];

int main(){
    int t, n, v;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>v;
        memset(vol, 0, sizeof(vol));
        memset(val, 0, sizeof(val));
        memset(dp, 0, sizeof(dp));

        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>val[i];
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>vol[i];

        for(int i=0; i<n; i++){
            for(int j=0; j<=v; j++){
                if(j>=vol[i])
                    dp[i+1][j] = max(dp[i][j], dp[i][j-vol[i]]+val[i]);
                else
                    dp[i+1][j] = dp[i][j];
            }
        }
        cout<<dp[n][v]<<endl;
    }
    return 0;
}
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用一维数组解：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int maxn = 1000+10;
int val[maxn];
int vol[maxn];
int dp[maxn];

int main(){
    int t, n, v;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n>>v;
        memset(vol, 0, sizeof(vol));
        memset(val, 0, sizeof(val));
        memset(dp,  0, sizeof(dp));
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>val[i];
        for(int i=0; i<n; i++)
            cin>>vol[i];

    <span class="hljs-keyword">for</span>(<span class="hljs-keyword">int</span> i=<span class="hljs-number">0</span>; i&lt;n; i++){
        <span class="hljs-keyword">for</span>(<span class="hljs-keyword">int</span> j=v; j&gt;=vol[i]; j--){
            dp[j] = max(dp[j], dp[j-vol[i]]+val[i]);
        }
    }
    <span class="hljs-built_in">cout</span>&lt;&lt;dp[v]&lt;&lt;endl;
}
<span class="hljs-keyword">return</span> <span class="hljs-number">0</span>;


}
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