进制及其转换

为什么计算机使用二进制

计算机是用二进制作为指令、数据存储的。之所以使用二进制，是因为构造计算机的电子元器件能比较方便的模拟1和0两个信号。比如我们要存储一个数字，我们称它为number，用十进制表示为521（五百二十一），而用二进制表示为1000001001，如果此时需要你来设计一个东西，来存储这些数据，应该怎么做呢？

对于十进制的数，521，因为每一位上可能出现的数字是0-9十个不同的符号，那么我们需要一个可以记录十个不同状态的东西，或者办法，假设这个玩意是A，那么存储521这个十进制数就需要AAA三个并列在一起就完成了，而如果使用二进制存储，我们只需要一个可以记录两种状态的东西就完事了，在如今的电子元件的物理背景下实在是太好找了，比如通电断电，高电压低电压等等。

显然实现记录10种状态的元器件，方法的成本实在是太高昂了，而且非常容易出错，如果有一点干扰导致记录的状态不正确有偏差，在读取的时候出错，那么影响是非常巨大的，而记录两种状态的成本就非常的低，而且非常稳定，不容易出错，因此，计算机中使用二进制作为基础也就被保留了下来。

进制的意义

首先要说一个“位”的概念，数学意义上的“位”，就是表示数字出现的位置。比如521这个十进制数，从右往左，5在第三位（百位），2在第二位（十位），1在第一位（个位）。而计算机中的“位（bit）”则特别的指二进制位，靠最左侧的称为最高位，最右侧的是最低位。

那么进制的意义，对于n进制来说，就是符号表中只有$[0,n-1]$这些元素，当出现n的时候，需要向上进位。比如十进制，只有$[0,9]$这些元素，当前数字为9，如果再给它加1，那么它就需要进位，变成10。而对于二进制来说，只能出现$[0,1]$这两个元素，现在写出一个二进制数的数列，不断自增1，那么就是这样的。{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,...} \{ 0,1,10,11,100,101,110,111,1000,...\}{0,1,10,11,100,101,110,111,1000,...}

这里会出现一个问题，因为没有什么硬件设备的存储范围是无限的，那么在有限的存储位数下，不断的进位，总会出现进位超出范围的情况，比如只给定3位的存储，那么一个整数最大最大为$111_{(2)}$，因为再进位，就会变成$000_{(2)}$了。因此，在有限的存储位数下，任何长度的数据都是有表数范围（精度）的。

进制间的转换

进制之间的转换通常分为两种：
（1）n进制转10进制
（2）10进制转n进制

先说第二种，10进制转换到n进制，采用短除法取余数的办法来做。
比如给定数字$725_{(10)}$，要求转换为8进制数。不知道如何用Tex表示短除法，就用下面形式了。
$$C\frac{A}{B}...D$$
意义为：$C\ast B+D=A$
$$8\frac{725}{90}...5$$
$$8\frac{90}{11}...2$$
$$8\frac{11}{1}...3$$
$$8\frac{1}{0}...1$$

我们得到了余数后，将其从下到上进行排序即可得到我们想要的8进制数$1325_{(8)}$

以上就是10进制转n进制的办法。那么对于n进制转10进制的办法理解起来简单一些。
比如数字$1325_{(8)}$转成10进制，所需要做的就是：
$$resul{t}_{(10)}=1\ast 8^3+3\ast 8^2+2\ast 8^1+5\ast 8^0=725$$

二进制的特性

二进制有一些比较有意思的特性，首先它可以很方便的进行逻辑运算（布尔运算），因为它是一个二值的，可以看为true和false。另一方面它与8进制，16进制有方便的转换关系，四个连续的二进制位可以转成一个16进制位，比如：$00011000$，我们可以拆分成四个一组为：$00011000$，然后四个一组转换成16进制数$18_{(16)}$

总结

1. 二进制用于计算机是因为电子元器件能方便的记录两个状态，这样经济性比较好。
2. 进制的意义是所谓的“逢几进一”，但对于计算机的有限存储来说，数值的范围/精度也因此受到了限制。
3. 进制间的转换。