17、数学背景：广义可加模型与线性混合效应模型

数学背景：广义可加模型与线性混合效应模型

1. 广义可加模型（GAM）自由度与参数估计

在广义可加模型（GAM）中，实际的模型自由度由参数 $\lambda$ 控制。因此，计算有效自由度时，并非简单地统计由 GAM 架构定义的自由参数数量，而是通过计算 PLSE 估计量的迹来实现（相关内容可参考 Wood 2003）。

对于 $\lambda$ 值的估计方法，主要有交叉验证法（Wood, 2017）和边际似然估计法，并且通常会与 $\beta$ 的估计同时进行（Wood 等人, 2016）。若想深入了解平滑器和 GAM 的估计方法，可参考 Hastie 和 Tibshirani (1990) 以及 Wood (2017) 的研究。

2. 线性混合效应模型（LMEM）

2.1 模型的一般形式

线性混合效应模型（LMEM）是标准线性模型的扩展，它允许模型的随机部分具有丰富的线性结构。在该模型中，除了能够被完全观测到的效应（即所谓的固定效应）之外，其他效应被视为来自一个更大的正态分布随机变量总体的随机样本（即所谓的随机效应）。

给定一个包含 $N$ 个输入 - 输出对 ${(x_n, y_n)}_{n = 1}^N$ 的数据集，LMEM 的一般形式为：
$Y = X\beta + Zb + \epsilon$
其中，$X$ 是一个 $(N \times k)$ 矩阵，$Z$ 是一个 $(N \times m)$ 矩阵，它们被称为模型矩阵或设计矩阵（这两个矩阵都是已知的），用于将未观测到的向量 $\beta$ 和 $b$ 与 $Y$ 联系起来。$\beta$ 是一个 $k$ 维的固定效应向量，$b$