3、特殊函数与分数阶微积分基础

特殊函数与分数阶微积分基础

在数学分析领域，特殊函数和分数阶微积分是两个重要的研究方向。特殊函数在解决各种数学和物理问题中发挥着关键作用，而分数阶微积分则为描述具有记忆和非局部特性的现象提供了有力工具。下面将详细介绍一些特殊函数及其性质，以及分数阶微积分的基础知识。

1. 特殊函数及其性质

特殊函数在数学和物理学中有着广泛的应用，这里主要介绍欧拉伽马函数和米塔 - 列夫勒函数。

1.1 伽马函数及其相关特殊函数

• 伽马函数定义 ：欧拉伽马函数 $\Gamma (z)$ 由第二类欧拉积分定义：
  [
  \Gamma (z) = \int_{0}^{\infty} t^{z - 1} e^{-t} dt, \quad \text{Re}(z) > 0
  ]
  其中 $t^{z - 1} = e^{(z - 1) \ln(t)}$。该积分对于所有满足 $\text{Re}(z) > 0$ 的复数 $z$ 收敛。
• 递推关系 ：通过分部积分可得 $\Gamma (z + 1) = z\Gamma (z)$，结合 $\Gamma (1) = 1$，对于正整数 $n$ 有 $\Gamma (n) = (n - 1)!$。
• 其他性质 ：伽马函数还有欧拉公式 $\Gamma (1 - z)\Gamma (z) = \frac{\pi}{\sin(\pi z)}$（$z \notin \mathbb{Z}, 0 < \text{Re}(z) < 1$