背包问题

题目描述：在n个物品中挑选若干物品装入背包，最多能装多满？假设背包的大小为m，每个物品的大小为A[i]

样例：

如果有4个物品[2, 3, 5, 7]

如果背包的大小为11，可以选择[2, 3, 5]装入背包，最多可以装满10的空间。

如果背包的大小为12，可以选择[2, 3, 7]装入背包，最多可以装满12的空间。

函数需要返回最多能装满的空间大小。

背包问题是计算机科学中非常经典的问题，有很多变型，但是在这里我们只是解决lintcode里的问题，更详细的内容放到以后吧。

还是通过动态规划解决，一个二维表格record记录每一步的计算结果，record[i][j] 代表前 i 个物品能否恰好填满 j 大小的空间。拿样例来说，record[0][2] = True.

需要注意的是，record[i][j] 只是代表前 i 个物品是否“有能力”恰好填满 j 大小的空间，而不是说前 i 个物品必须全部都用上才填满 j 大小的空间。所以，不论 i 是多少，都有record[i][0] = True

那么就存在着这样的逻辑：前 i 个物品如果能恰好填满 j 大小的空间，那一定满足以下两个条件之一：

1. 不放第 i 个物品，而且前 i - 1个物品能恰好填满 j 大小的空间

2. 放第 i 个物品，而且前 i - 1个物品能恰好填满 j - A[i]大小的空间（A是物品大小的值构成的数组）

得到状态转移方程：record[i][j] = record[i - 1][j] or record[i - 1][j - A[i]]（两个条件满足一个即为真）

然后我们只需要求出满足record[i][j] = True的最大的 j 的值即可。

代码如下：

class Solution:
    # @param m: An integer m denotes the size of a backpack
    # @param A: Given n items with size A[i]
    # @return: The maximum size
    def backPack(self, m, A):
        n = len(A)
        if n == 0:
            return 0
        record = [[False for j in range(m + 1)] for i in range(n)]
        j = 0
        result = 0
        while j <= m:
            if A[0] == j:
                record[0][j] = True
                result = max(result, j)
                break
            j += 1
        record[0][0] = True

        i = 1
        while i < n:
            j = 0
            while j <= m:
                record[i][j] = record[i - 1][j] or (j - A[i] >= 0 and record[i - 1][j - A[i]])
                if record[i][j]:
                    result = max(result, j)
                j += 1
            i += 1
        return result
        # write your code here

需要注意的是第24行需要有一个判断的前提：j - A[i] >= 0，不然会出错。

上面这样写当然是没有错的，但是二维数组的使用在数据量很大的时候就效率极低了，你可以试试，上面的代码在lintcode上是运行不通的（其实我个人感觉这个题的测试用例有些苛刻了，没有这个必要），还需要改成一维数组，改起来也容易，因为每一次迭代的record都只依赖于他的上一行。

代码如下：

class Solution:
    # @param m: An integer m denotes the size of a backpack
    # @param A: Given n items with size A[i]
    # @return: The maximum size
    def backPack(self, m, A):
        n = len(A)
        if n == 0:
            return 0
        record = [False for j in range(m + 1)]
        j = 0
        result = 0
        while j <= m:
            if A[0] == j:
                record[j] = True
                result = max(result, j)
                break
            j += 1
        record[0] = True

        i = 1
        while i < n:
            j = 0
            temp = []
            while j <= m:
                temp.append(record[j] or (j - A[i] >= 0 and record[j - A[i]]))
                if temp[j]:
                    result = max(result, j)
                j += 1
            record = temp
            i += 1
        return result
        # write your code here