匈牙利算法

匈牙利算法（Hungarian Algorithm）：用于求解二分图的最大匹配问题


一些定义：
二分图：把一个图的顶点划分为两个不相交集 U 和V ，使得每一条边都分别连接U、V中的顶点，且U或V中顶点没有边相连接。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。
匹配：在图论中，一个「匹配」（matching）是匹配边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。
          
匹配边：图3中1-5、4-7、3-6为一个匹配的匹配边，其他边为非匹配边；
匹配点：图3中1、4、5、7、3、6 为一个匹配的匹配点，其他顶点为未匹配点；
未匹配边：除去未匹配的边之后剩下的边
未匹配点：除去未匹配的顶点之后剩下的顶点
最大匹配：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。


完美匹配：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。完美匹配必是最大匹配；


最大匹配问题：如图所示，男孩女孩之间的连线表示相互喜欢可以配对，能否让所有的男孩女孩都配对成功呢？即求解完美匹配问题；最多能促成多少对匹配呢，即求解二分图中最大匹配问题？
 

 
交替路：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。图5中1-6、3-7、4-8为一个匹配，从未匹配点9出发，依次经过非匹配边4-9，匹配边4-8，非匹配边1-8，匹配边1-6，非匹配边2-6形成的路径为交替路；
增广路：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）；图7也是一条增光路；


 
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。
增广路定理：从未匹配点出发，通过不停地找增光路路，不断增加匹配中的匹配边和匹配点，当找不到增广路时，达到最大匹配；
匈牙利算法正式利用了这个原理。


匈牙利算法的要点如下：
从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过递归函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用 prev 数组。
使用BFS性能比DFS好。

TODO

改天补充算法


扩展定义：
最优匹配又称为带权最大匹配，是指在带有权值边的二分图中，求一个匹配使得匹配边上的权值和最大。一般X和Y集合顶点个数相同，最优匹配也是一个完备匹配，即每个顶点都被匹配。如果个数不相等，可以通过补点加0边实现转化。一般使用KM算法解决该问题。


最小覆盖：二分图的最小覆盖分为最小顶点覆盖和最小路径覆盖：


①最小顶点覆盖是指最少的顶点数使得二分图G中的每条边都至少与其中一个点相关联，二分图的最小顶点覆盖数=二分图的最大匹配数；


②最小路径覆盖也称为最小边覆盖，是指用尽量少的不相交简单路径覆盖二分图中的所有顶点。二分图的最小路径覆盖数=|V|-二分图的最大匹配数；


最大独立集：最大独立集是指寻找一个点集，使得其中任意两点在图中无对应边。对于一般图来说，最大独立集是一个NP完全问题，对于二分图来说最大独立集=|V|-二分图的最大匹配数。如下图中黑色点即为一个最大独立集：


最小割定理：一个二分图中的最大匹配数等于这个图中的最小点覆盖数。