数论知识点1——快速幂取模-LightOJ 1282

数论知识点1——快速幂取模

1.快速幂的思路

普通的幂运算操作是时间复杂度是O(n)，这个速度的确很快，但是当n比较大的时候，普通的写法就会超时，我们考虑将a^b这种形式，我们把b（也就是指数），看成二进制的，比如a²²次方，22代表的是10110，那么我们可以把a²² => 转换为 a¹⁶  * a⁴  *  a² ，很明两者是等价的，因为16 + 4 + 2 == 22。这个表达式的意思就是我们在计算a22的时候，可以使用二进制的形式来运算，遇到1则对结果进行累乘，始终对指数进行累乘，具体看代码

LL pow_mod(LL x, LL n)
{
    LL res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x;   //遇到1对结果进行累乘
        x = x * x;    //指数累乘
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

这个代码的问题就是，会溢出，不管速度是否加快但是结果都是一样的，所以才有了幂取模这么一个说法，但是我们如果在最后取模还是要溢出，，所以一边运算一边取模，这里用到的知识点是(a * b) % c = (a % c * b % c) % c，所以有了下面这个完整的代码

LL pow_mod(LL x, LL n, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

这个知识点对应的题目 LightOJ 1282

这个题目不仅要求a^b的后3位，还有就是前3位，后3位就是刚刚的快速幂取模运算，把mod写成1000，即可。

前三位，需要用到一个知识点，那就是给定一个数n，这个数可以表示成10^a，这个a一般是小数，那么n^k就等于10^ak，这里把ak分为两部分，整数和小数部分，即x和y，那么n^k = 10^x * 10^y，由于x是整数，那么很明显他是用来指定位数的，因为10^x肯定是一个10， 100， 10000...之类的数字，也就是说10^y才是这个数字的有效部分，我们只要求出10^y，然后乘上100最终结果就是我们想要的。

因为n = 10^a  所以 a = log10(n)，10^y就是小数部分，我们用函数fmod(x, 1)，返回x的小数部分，然后乘上100即可

fmod返回的是y的值，所以必须计算10^y才是真实值，所以直接使用10² * 10^y 即pow(10, 2 + y)；

代码如下：

LL pow_mod(LL x, LL n, LL mod)
{
    LL res = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1)
            res = res * x % mod;
        x = x * x % mod;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int t;
    int n, k;
    int Case = 1;
    cin >> t;
    while(t--)
    {
        cin >> n >> k;
        int res = pow(10.0, 2.0 + fmod((double)k * log10((double)n), 1)); 
        cout << "Case " << Case++  << ": " << res << " " << setfill('0') << setw(3) << pow_mod(n, k, 1000) << endl;
    }
    return 0;
}

感谢 _大太阳_提供的关于前三位计算的思路